Löse mithilfe einer Substitution

Löse mithilfe einer Substitution.

\(\color{BrickRed} \sqrt{x+3}+\sqrt[8]{x^2+6x+9}-2=0\)               \(\mathbb{D}=\{x\geqq -3 \}\)

                                                                           \(\tiny Danke\ an\ Omi67\)

Hallo Gast!

Substituiere  

\(\color{blue}z=\sqrt{x+3}\\ z^4=(\sqrt{x+3})^4=(x+3)^2=x^2+6x+9\) 

\(\color{blue}z+\sqrt[8]{z^4}-2=0\\ \sqrt[8]{z^4}=2-z\\ \sqrt{z}=2-z\\ z=4-4z+z^2\\ z^2-5z+4=0 \)

\(z_{1,2}=2,5\pm\sqrt{6,25-4}\)

\(z_{1,2}=2,5\pm1,5\)

\(z_1=4\)

\(z_2=1\)

Resubstituiere \(z_{1,2}=\sqrt{x+3}\)

\(4=\sqrt{x_1+3}\\ 16=x_1+3\)

\(\color{blue} x_1=13\)

\(\sqrt{13+3}\pm\sqrt[8]{13^2+6\cdot 13+9}-2= 0\ ?\\ \color{blue}\sqrt{16} - \sqrt[8]{256}-2= 0\\ \color{blue}4- 2-2=0\\ \color{BrickRed}\sqrt{16} + \sqrt[8]{256}-2\neq 0\\ \color{BrickRed}4+2-2\neq0\)

\(1=\sqrt{x_2+3}\\ 1=x_2+3\\ \color{blue}x_2=-2\)

  !

Lösung mit Substitution:

Wo kann man Spenden für dieses Forum?

Das ist sehr schwierig könnt ihr die auch noch Lösen?

A)

\(\sqrt[10]{x-7}+\sqrt[5]{x-7}=2\)

       1       +        1      =  2   Logisch geschlossen

           \(\color{blue} x=8\)

\(\sqrt[10]{8-7}+\sqrt[5]{8-7}=2\)

\(\sqrt[10]{1}+\sqrt[5]{1}=2\)

Grafisch:

\(\color{blue}\large x=8\)

B)

\(\sqrt[8]{x-4}+\sqrt[4]{16x-64}-3=0\)

\(\sqrt[8]{x-4}+\sqrt[4]{16x-64}=3\)

       1       +            2        =  3       Logisch geschlossen

\(\color{blue}x=5\)

\(\sqrt[8]{5-4}+\sqrt[4]{16\cdot 5-64}=3\\ \sqrt[8]{1}+\sqrt[4]{16}=3 \)

Grafisch:

\(\color{blue}\large x=5\)

  !

\(\small asinus\)