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\(6x(2x-n)=2m(n-2x)\)

 

Ich habe mal so angefangen

 

\(\\12x^2-6xn=2mn-4mx \\12x^2-6xn+4mx=2mn \quad|:2 \\6x^2-3xn+2mx=mn \\x(6x-3n+2m)=mn \\?\)

 

Wie bringe ich es in die Grundform

 17.03.2019
 #1
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Hat eine Weile gedauert.

laugh

 17.03.2019
 #2
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+1

Löse die Gleichung mit der quadratischen Ergänzung nach x auf

\(6x(2x-n)=2m(n-2x)\)

 

Hallo Mathefan!

 

\(6x(2x-n)=2m(n-2x)\\ 12x^2-6nx=2mn-4mx\\ 12x^2-6nx+4mx=2mn\\ 12x^2+(4m-6n)x=2mn\\ x^2+\frac{4m-6n}{12}x=\frac{mn}{6}\)

\(x^2+\frac{2m-3n}{6}x=\frac{mn}{6}\)

 

p ist der Faktor vor x im linearen Glied der quadratischen Gleichung.

Die quadratische Ergänzung ist \((\frac{p}{2})^2\).

Sie wird auf beiden Seiten der Gleichung addiert.

\((\frac{p}{2})^2=(\frac{2m-3n}{12})^2\)

 

\(x^2+\frac{2m-3n}{6}x+{\color{blue}(\frac{2m-3n}{12})^2}=\frac{mn}{6}+\color{blue}(\frac{2m-3n}{12})^2\)

 

Die linke Seite der Gleichung ist nun aufgebaut, wie die 1. binomische Formel

\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)  , darum

 

\(x^2+\frac{2m-3n}{6}x+(\frac{2m-3n}{12})^2=\frac{mn}{6}+(\frac{2m-3n}{12})^2\\ (x+\frac{2m-3n}{12})^2=\frac{mn}{6}+(\frac{2m-3n}{12})^2\\ x+\frac{2m-3n}{12}=\sqrt{\frac{mn}{6}+(\frac{2m-3n}{12})^2}\\ \color{blue }x=-\frac{2m-3n}{12}\pm \sqrt{\frac{mn}{6}+(\frac{2m-3n}{12})^2}\)

laugh  !

 17.03.2019

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