löse anhand einer quadratischen ergänzung

Löse anhand einer quadratischen Ergänzung
x²+12x-18=0

Hallo Gast!

Quadratische Ergänzung:

Finde p heraus (das ist die Zahl, die vor der einfachen Variablen steht)

Bilde nun (p : 2)². Damit erhältst du die quadratische Ergänzung.

Schaffe bei deiner Gleichung die alleinstehende Zahl ohne Variable auf die andere Seite.

Baue die quadratische Ergänzung in die Gleichung ein.

Bilde den Klammerausdruck.

$x^2+12x-18=0 \\ p = 12\\ (\frac{p}{2})^2=6^2=36\\ x^2+12x=18\\ x^2+12x+36=18+36\\ (x+6)\cdot(x+6)=54\\ (x+6)^2=54\\x+6=\pm\sqrt{54}\\ x=\pm\sqrt{54}-6\\ \color{blue}x_1=1,348..\\ \color{blue}x_2=-13,348..$

  !

danke 

und wenn es so aussieht?

4x²-13x+3=0

Und wenn es so aussieht?

4x²-13x+3=0

Dividiere die Gleichung durch 4.

$4x^2-13x+3=0$          | : 4    beidseitig

$x^2-\frac{13}{4}x+\frac{3}{4}=0$           | - $\frac{3}{4}$  beidseitig

$x^2-\frac{13}{4}x=-\frac{3}{4}$

Die quadratische Ergänzung ist

$(\frac{p}{2})^2=(-\frac{13}{8})^2=\frac{169}{64}$

Sie wird zu beiden Seiten der Gleichung addiert.

$x^2-\frac{13}{4}+\frac{169}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{169}{64}\\ x^2-\frac{13}{4}+\frac{169}{64}=\frac{121}{64}$

In Klammern also:

$(x-\frac{13}{8})^2=\frac{121}{64}\\ \sqrt{(x-\frac{13}{8})^2}=\pm \sqrt\frac{121}{64}\\ x-\frac{13}{8}=\pm (\frac{11}{8})$

$x=\frac{13}{8}\pm \frac{11}{8}\\ \color{blue}x_1=3\\ \color{blue}x_2=\frac{1}{4}$

Gruß    !