KURVENDISKUSSION/DIFFERENZIALRECHNUNG

Moin matheking
Hier schon einmal die Nullstellen Deiner Funktion (mit Erklärung):
y = x^3 / 6 + x^2
Nullstellen sind die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse. Ihr y-Wert muss also 0 sein.
 0 = x^3 / 6 + x^2 | * 6
 0 = x^3 + 6 x^2
Jetzt wird faktorisiert:
0 = x ( x^2 + 6 x)
Es gilt: ein Produkt hat das Ergebnis 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.
 x1 = 0 ; das Ergebnis in die Ausgangsgleichung einsetzen
 y1 = 0
 Die erste Nullstelle lautet: (0 | 0)
0 = x^2 + 6 x
Jetzt p/q-Formel anwenden x1/2 = - p/2 +/- sqrt (p^2/4) – q
x2/3= - 6/2 +/- sqrt(36/4 – 0)
x2/3= -3 +/- sqrt(9)
x2/3= -3 +/- 3
x2 = - 3 + (-3) = -6; das Ergebnis in die Ausgangsgleichung einsetzen
 y = (-6)^3 / 6 + 6*(-6)^2
 Y = - 36 + 36 = 0
 Die zweite Nullstelle lautet: (-6 | 0)
x3 = -3 – (-3) = -3 + 3 = 0
 x3 = x1
Die Funktion hat 2 Nullstellen in (0 | 0) und (-6 | 0).

Moin Matheking,
Die relativen Extrema sind Punkte mit waagerechter Tangente. Es gibt relative Maxima (Hochpunkte) und relative Minima (Tiefpunkte).
Es gelten folgende Bedingungen:
1. relatives Maximum f‘(x1) = 0 und f‘‘(x1) < 0
2. relatives Minimum f‘(x1) = 0 und f‘‘(x1) > 0
Erste und zweite Ableitung bilden!
y = 1/6 * x^3 + x^2
y‘ = 3*1/6*x^2 + 2x = 3/6*x^2 + 2x = ½ x^2 + 2x
y‘‘ = 2*1/2*x + 2 = x + 2
Zuerst die erste Ableitung gleich Null setzen:
0 = x^2/2 + 2x | *2
0 = x^2 + 4x
Faktorisieren (s.o.: Nullstellen)
0 = x (x + 4)
x1 = 0
0 = x + 4 | -4
-4 = x
x2 = -4
Die gefundenen Werte in die zweite Ableitung einsetzen:
y‘‘ = x + 2
0 = x1 + 2
0 = 0 + 2 = 2; 2 > 0 daraus folgt: bei x1 = 2 liegt ein Minimum.
Einsetzen in die Ursprungsgleichung:
y 1 = 1/6 * 2^3 + 2^2 = 1/6 * 8 + 4 = 8/6 + 4 = 4/3 + 4 = 4/3 + 12/3 = 16/3 = ~ 5,33333 (Periode) oder 5 1/3
Ein Minimum liegt bei (2| 16/3) = (2 | 5,3333…)
- - - - - - -
0 = x2 + 2
0 = -4 + 2
0 = -2; -2 < 0 daraus folgt: bei x2 = -4 liegt ein Maximum.
Einsetzen in die Ursprungsgleichung:
y2 = 1/6 * (-4)^3 + (-4)^2
y2 = 1/6 * (-64) + 16
y2 = - (64/6) + 96/6
y2 = 32/6 = 16/3 =~ 5,33333 (Periode) oder 5 1/3
Ein Maximum liegt bei (-4 | 16/3) = (-4 | 5,3333…)

Moin Matheking,
hier auch noch den (die) Wendepunkte(e) Deiner Funktion:
Die Bedingungen für einen Wendepunkt lauten:
f‘‘ (xw) = 0 und f‘‘‘ (xw) ungleich 0
Die zweite Ableitung kann übernommen werden: y‘‘ = x + 2
Die dritte Ableitung wird gebildet: y‘‘‘ = 1 (damit ist die zweite Bedingung erfüllt: denn für jedes mögliche x gilt y‘‘‘ = 1 und damit auch ungleich 0.
- - - - - - - - -
Jetzt wird die zweite Ableitung (y‘‘) gleich Null gesetzt:
y‘‘ = xw + 2
0 = xw + 2 | - 2
-2 = xw
xw = -2
Aus der Erfüllung beider Bedingungen ergibt sich, dass bei x = -2 ein Wendepunkt vorliegt.
Einsetzen in die Ursprungsgleichung:
y = 1/6 * x^3 + x^2
yw = 1/6 * (-2)^3 + (-2)^2
yw = 1/6 * (-8) + 4 = - (8/6) + 4 = - (4/3) + 4
yw = -(4/3) + 12/3 = 8/3 =~ 2,666… = 2 2/3
Ein Wendepunkt liegt vor in (-2 | 8/3) =~ (-2 | 2,6666…)

Moin matheking,
Eine Tangente ist eine Gerade (lineare Funktion), für die gilt: y = m*x +b.
- - - - - -
Um die Steigung m der Wendetangente im Wendepunkt ( -2 | 8/3) zu ermitteln,
wird erneut die erste Ableitung [y‘ der Ausgangsgleichung] zur Hilfe genommen.
y‘ = ½ x^2 + 2x = x^2/2 + 2x
und dann der x-Wert des Wendepunktes (xw) eingesetzt:
y‘(xw) = ½ (xw)^2 + 2*xw
y‘(-2) = ½ (-2)^2 + 2(-2)
y‘(-2) = 4/2 + (-4) = 2 – 4 = -2 = m
Im Punkt ( -2 | 8/3) {und nur in diesem Punkt} hat die Wendetangente die Steigung: (-2) = m; d.h. eigentlich steigt sie ja gar nicht an, sondern „fällt“.
Die Koordinaten des Wendepunktes ( -2 | 8/3 ) und die ermittelte Steigung m = (-2) werden in die allgemeine Geradengleichung y = m*x +b eingefügt und b (durch Auflösung) errechnet:
8/3 = (-2) * (-2) + b
8/3 = 4 + b | - 4
8/3 – 12/3 = b
-(4/3) = b
b = -(4/3) =~ -1,3333… = - 1 1/3
- - - - - - - - - - -
Jetzt steht die (allgemeine) Geradengleichung der Wendetangente fest:
yw = (-2)*xw – 11/3 oder: f(x) = -2x – 11/3

Moin matheking,
Eine Tangente ist eine Gerade (lineare Funktion), für die gilt: y = m*x +b.
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Um die Steigung m der Wendetangente im Wendepunkt ( -2 | 8/3) zu ermitteln,
wird erneut die erste Ableitung [y‘ der Ausgangsgleichung] zur Hilfe genommen.
y‘ = ½ x^2 + 2x = x^2/2 + 2x
und dann der x-Wert des Wendepunktes (xw) eingesetzt:
y‘(xw) = ½ (xw)^2 + 2*xw
y‘(-2) = ½ (-2)^2 + 2(-2)
y‘(-2) = 4/2 + (-4) = 2 – 4 = -2 = m
Im Punkt ( -2 | 8/3) {und nur in diesem Punkt} hat die Wendetangente die Steigung: (-2) = m; d.h. eigentlich steigt sie ja gar nicht an, sondern „fällt“.
Die Koordinaten des Wendepunktes ( -2 | 8/3 ) und die ermittelte Steigung m = (-2) werden in die allgemeine Geradengleichung y = m*x +b eingefügt und b (durch Auflösung) errechnet:
8/3 = (-2) * (-2) + b
8/3 = 4 + b | - 4
8/3 – 12/3 = b
-(4/3) = b
b = -(4/3) =~ -1,3333… = - 1 1/3
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Jetzt steht die (allgemeine) Geradengleichung der Wendetangente fest:
yw = (-2)*xw – 11/3 oder: f(x) = -2x – 11/3
 
Inzwischen stehen eine Reihe von Punkten des Graphen und ihre Definitionen als Extrema bzw. Wendepunkte fest:
(0 | 0); (-6 | 0); (2| 16/3); (-4 | 16/3); (-2 | 8/3)
Um den Graphen zeichnen zu können, muss eine aussagekräftige Wertetabelle erstellt und ergänzt werden.
X -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Y / 0 16/3 8/3 0 16/3 / / /
z.B.:

(-8)^3 / 6 + (-8)^2 =- 21 1/3 =~ -21,3333…. = - 64/3
4^3/6 + 4^2 = 32/3 + 16 = 32/3 + 48/3 = 80/3 = 26,6666… =~ 26 2/6
6^3/6 + 6^2 = 36 + 36 = 72
8^3/6 + 8^2 = 256/3 + 64 = 256/3 + 192/3 = 448/3 =~ 149,3333… =149 1/3