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Wie löse ich diese komplexe Gleichung?

 

z^3=-64i

 23.08.2021
 #1
avatar+2422 
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Generell ist für derartige Gleichungen die Polardarstellung zu empfehlen:

Es gilt \(-64i = 64 \cdot (-i) = 64 \cdot e^{i\frac{3\pi}{2}}\). Damit folgt:

 

\(z^3 = -64i \\ z^3 = 64 \cdot e^{i\frac{3\pi}{2}} \ \ | ^3\sqrt. \\ z = \ ^3\sqrt{64 \cdot e^{i\frac{3\pi}{2}} } \\ z = (64 \cdot e^{i\frac{3\pi}{2}})^\frac{1}{3} \\ z = 64^\frac{1}{3} \cdot (e^{i\frac{3\pi}{2}})^\frac{1}{3} \\ z = 4 \cdot e^{i\frac{3\pi}{2}\frac{1}{3}} \\ z = 4 \cdot e^{i\frac{\pi}{2}} = 4i\)

 23.08.2021
 #2
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z^3 hat aber 3 Lösungen...und die Polardarstellung bringt mir nur eine Lösung...

Gast 23.08.2021
 #3
avatar+2422 
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Ach ja, sorry - ist schon ein bisschen her dass ich solche Gleichungen lösen musste :D

Die Polardarstellung ist trotzdem der Schlüssel - das Entscheidende ist, dass der Winkel im Exponenten ja problemlos um 2Pi vergrößert werden kann. Statt mit \(\frac{3\pi}{2} \) im Exponenten am Anfang kann der Ansatz also auch genauso mit \(\frac{7\pi}{2}\) begonnen werden:

 

\(z^3 = -64i \\ z^3 = 64 \cdot e^{i\frac{7\pi}{2}} \ \ | ^3\sqrt. \\ z = \ ^3\sqrt{64 \cdot e^{i\frac{7\pi}{2}} } \\ z = (64 \cdot e^{i\frac{7\pi}{2}})^\frac{1}{3} \\ z = 64^\frac{1}{3} \cdot (e^{i\frac{7\pi}{2}})^\frac{1}{3} \\ z = 4 \cdot e^{i\frac{7\pi}{2}\frac{1}{3}} \\ z = 4 \cdot e^{i\frac{7\pi}{6}} \)

 

Ebenso funktioniert \(\frac{11\pi}{2}\) als "Startwinkel", dann erhältst du noch die dritte Lösung \(4 \cdot e^{i\frac{11\pi}{6}}\).

Probolobo  23.08.2021

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