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avatar+14536 

Ein  10-Euro-Schein  hat die Maße  a = 127 mm  und  b = 67 mm.

Faltet man zwei gegenüber liegende Ecken aufeinander, so bekommt der Schein einen Knick.

Wie lang ist dieser Knick ?

 

Gruß radix smiley !

radix  05.04.2016
 #1
avatar+7515 
0

Hallo radix!

Das ist wieder mal eine schöne Aufgabe!

 

Ein  10-Euro-Schein  hat die Maße  a = 127 mm  und  b = 67 mm.

Faltet man zwei gegenüber liegende Ecken aufeinander, so bekommt der Schein einen Knick.

 

x ist der Abschnitt auf der langen Seite, wo der Knick beginnt.

 

(127 -  x)² - x² = 67²

 

16129 - 254x + x² - x² = 4489

254x = 11640

x = 45,82677

 

tan alpha = 45,82677 / 67

alpha = 34,37141°

 

cos alpha = 67 / Knicklänge

Knicklänge = 67 / cos alpha

 

Knicklänge = 81,173 mm

 

 

Grüße von

asinus :- )

 laugh!

asinus  05.04.2016
bearbeitet von asinus  05.04.2016
bearbeitet von asinus  05.04.2016
bearbeitet von asinus  05.04.2016
 #2
avatar+14536 
0

Guten Morgen   asinus !

 

Ich danke dir für deine schnelle Antwort !

Leider habe ich ein anderes Ergebnis.

 

Falte doch mal den Schein und miss nach. Du müsstest auf etwa 76 mm kommen.

Tipp:   Zeichne auch die Diagonale ein

 

Du wirst feststellen, dass die Aufgab zwar schön, aber doch nicht ganz so einfach ist .

Viel Erfolg wünscht

 

radix smiley !

radix  05.04.2016
 #3
avatar+20115 
0

Ein  10-Euro-Schein  hat die Maße  a = 127 mm  und  b = 67 mm.

Faltet man zwei gegenüber liegende Ecken aufeinander, so bekommt der Schein einen Knick.

Wie lang ist dieser Knick ?

 

x = Länge des Knicks

 

\(\begin{array}{rcll} x &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot a} \cdot \sqrt { ( a^2+b^2 )\cdot ( a^2+b^2 - \sqrt{ (a^2+b^2)^2-4\cdot a^2b^2 }) } \\\\ a &=& 127\ mm\\ b &=& 67\ mm \\ \\ x &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot 127} \cdot \sqrt { ( 127^2+67^2 )\cdot ( 127^2+67^2 - 11640 ) } \\\\ x &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot 127} \cdot \sqrt { 20618\cdot ( 20618 - 11640 ) } \\\\ x &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot 127} \cdot 13605,4549354 \\\\ \mathbf{x} & \mathbf{=} & \mathbf{75,7520428817\ mm } \end{array} \)

 

Der Knick ist rund 75,75 mm lang

 

laugh

heureka  05.04.2016
 #4
avatar+7515 
0

Hallo radix!

Danke für die Fehlermeldung. Ich war etwas in Eile.

 

Also:

Ein  10-Euro-Schein  hat die Maße  a = 127 mm  und  b = 67 mm.

 

x ist der Abschnitt auf der langen Seite, wo der Knick beginnt.

 

(127  -  x)² - x² = 67²

16129 - 254x + x² - x² = 4489

254x = 11640

x = 45,82677mm

 

Dreieck

127mm - 2x  ; 67mm  ; Knicklänge

 

 

Knicklänge²  = (127mm - 2x)² + 67²mm²

Knicklänge = √[(127mm - 2 * 45,82677mm)² + 67²mm² ]

 

Knicklänge = 75,752mm

 

Grüße von

 

asinus :- ) laughlaughlaugh ! ! !

asinus  05.04.2016
 #5
avatar+20115 
0

Ein  10-Euro-Schein  hat die Maße  a = 127 mm  und  b = 67 mm.
Faltet man zwei gegenüber liegende Ecken aufeinander, so bekommt der Schein einen Knick.
Wie lang ist dieser Knick ?

 

x = Länge des Knicks

 

Die Formel läßt sich noch weiter vereinfachen:

 

\( \begin{array}{rcll} x &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot a} \cdot \sqrt { ( a^2+b^2 )\cdot (~ a^2+b^2 - \sqrt{ (a^2+b^2)^2-4\cdot a^2b^2 } ~) } \\\\ &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot a} \cdot \sqrt { ( a^2+b^2 )\cdot (~ a^2+b^2 - \sqrt{ a^4+b^4+2a^2b^2 -4\cdot a^2b^2 } ~) } \\ &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot a} \cdot \sqrt { ( a^2+b^2 )\cdot (~ a^2+b^2 - \sqrt{ a^4+b^4-2\cdot a^2b^2 } ~) } \\ &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot a} \cdot \sqrt { ( a^2+b^2 )\cdot (~ a^2+b^2 - \sqrt{ (a^2-b^2)^2 } ~) } \\ &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot a} \cdot \sqrt { ( a^2+b^2 )\cdot ( a^2+b^2 - (a^2-b^2) ) } \\ &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot a} \cdot \sqrt { ( a^2+b^2 )\cdot ( a^2+b^2 - a^2 + b^2) ) } \\ &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot a} \cdot \sqrt { ( a^2+b^2 )\cdot ( b^2 +b^2) } \\ &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot a} \cdot \sqrt { ( a^2+b^2 )\cdot ( 2b^2 ) } \\ &=& \dfrac{ \sqrt{2}\cdot \sqrt{2} \cdot b } {2\cdot a} \cdot \sqrt { a^2+b^2 } \\\\ \mathbf{x} &\mathbf{=}& \mathbf{\dfrac{ b } { a} \cdot \sqrt { a^2+b^2 } }\\\\ a &=& 127\ mm\\ b &=& 67\ mm \\ \\ x &=& \dfrac{ b } { a} \cdot \sqrt { a^2+b^2 } \\\\ x &=& \dfrac{ 67 } { 127} \cdot \sqrt { 127^2+67^2 } \\\\ x &=& \dfrac{ 67 } { 127 } \cdot 143,589693223 \\\\ \mathbf{x} & \mathbf{=} & \mathbf{75,7520428817\ mm } \end{array}\)

 

laugh

heureka  05.04.2016
 #6
avatar+14536 
0

Hallo  asinus  und  heureka !

 

Vielen Dank für eure Bemühungen !

Ich bin auf die gleiche  Berechnungsformel gekommen wie  heureka.

Allerdings habe ich etwas umständlich  dreimal den Herrn Pythagoras und einmal den Herrn Euklid (Höhensatz) bemüht.

 

Auch so sieht die "Formel" ganz nett aus:

 

\(k=b*\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)

 

Gruß radix smiley !

radix  05.04.2016

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