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Kann mir jemand hier helfen:

Beweise dass die Gleichung 2(1+10m + 102m) = k(n+1) unendlich viele Lösungen besitzt, wobei alle Variablen natürliche Zahlen sind und m die Anzahl von Ziffern von n ist.

 30.01.2022
 #1
avatar+3777 
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Eine schöne Frage, die ich leider noch nicht ganz lösen kann, ich lass' trotzdem mal meine Gedanken dazu da:

 

Die linke Seite hat ja immer die Form 200...0200....02 (2x gleich viele Nullen). Lösungen finden ist (vermute ich) am leichtesten, wenn man m festlegt und nach einem Teiler T der linken Seite sucht, der genau m Stellen hat. Dann ist mit n=T-1 und k=[linke Seite]/T eine Lösung gefunden.

 

Ich mach's mal vor: 

Mit m=1 ist die linke Seite 222. Ein einstelliger Teiler von 222 ist beispielsweise 2. So finden wir die Lösung n=2-1=1 und k=222/2=111.

Und in der Tat ist die rechte Seite dann 111*(1+1)=222 - passt.

Mit m=2 ist die linke Seite 20202. Ein zweistelliger Teiler von 20202 ist 13. Wir finden n=12 und k=20202/13=1554. Eine weitere Lösung ist gefunden.

 

Erwähnenswert ist hier auch, dass n trotz dem Abziehen von 1 vom m-stelligen Teiler nie weniger als m Stellen hat. Das wäre nämlich nur der Fall, wenn der m-Stellige Teiler 10m-1 ist - das ist aber nie der Fall, denn die linke Seite endet stets mit der Ziffer 2.

 

Die Wahl anderer Teiler mit passender Stellen-Anzahl zu einem festen m liefert neue Lösungen, aber nur endlich viele, das hilft uns also nicht weiter. Das Problem ist aber immerhin reduziert zu folgender Aussage:
Für jede Zahl m hat 2*(1+10m+102m) einen m-stelligen Teiler. 

 

Das sieht machbar aus, ich geb' hier gern ein Update wenn ich's hinbekommen habe. Der Rest hier im Forum ist natürlich gern eingeladen, den Beweis zu vervollständigen.

 03.02.2022
 #2
avatar+3777 
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Auch auffällig: die linke Seite hat stets die Teiler 2 & 3 (und damit auch 6). Bin noch unsicher ob's wichtig ist, ist aber der Fall.

Probolobo  03.02.2022

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