+50 Kann mir jemand dabei Helfen es zu Lösen? mit kleine Erklärung (ich weiss nie was bei solchen Aufgaben zu tun ist :( )
+3976 Ich mach mal für 9.1 nur b&c ganz vor, mit den Erklärungen dazu schaffst du's bestimmt, bei a) nachzuweisen, dass die Relation reflexiv, symmetrisch, aber nicht transitiv ist.
Was bedeuten die Eigenschaften überhaupt?
Reflexiv: Für alle x ist (x, x) in der Relation
Symmetrisch: Ist (x, y) in der Relation, so ist auch (y, x) in der Relation
Transitiv: Ist (x, y) und (y, z) in der Relation, so ist auch (x, z) in der Relation
b)
(x, x) ist in der Relation, denn x-x=0 ist für alle Zahlen x in 3Z. , also ist die Relation reflexiv.
Ist (x, y) in der Relation, so ist x-y ein Vielfaches von 3 oder 5 oder -5. Da y-x=-(x-y), ist y-x ebenfalls Vielfaches von 3 oder 5 oder -5. Daher ist dann auch (y, x) in der Relation, die Relation ist also symmetrisch.
Zur Transitivität habe ich zunächst Zweifel, und war wegen +5 & -5 in der Relations-Definition, daher versuche ich, ein Gegenbeispiel zu finden. Das gelingt: mit x=1 und y=6 ist (x, y) in der Relation, denn 1-6=-5. Mit z=9 ist (y, z) in der Relation, denn 6-9=-3. Aber (x, z)=(1, 9) ist nicht in der Relation, denn 1-9=-8 ist weder +5 oder -5 noch ein Vielfaches von 3. Also ist die Relation nicht transitiv.
c) kommt gleich.
+3976 c):
Die Relation ist reflexiv, denn: X\X ist für alle Mengen die leere Menge, somit ist für alle Mengen X das Tupel (X, X) in der Relation enthalten.
Für die Symmetrie & die Transitivität würde ich vom Feeling her sagen, dass das eher nicht geht, weil die Differenzbildung von Mengen sich generell eher ungut bzgl. dieser Eigenschaften verhält. Daher versuche ich, ein Gegenbeispiel zu finden:
Symmetrie: Mit X={1, 2} und Y={1, 2, 3} ist X\Y leer und somit (X, Y) in der Relation, aber Y\X={3} und somit nicht (Y, X) in der Relation. Also ist die Relation nicht symmetrisch.
Nach ein bisschen Rumprobieren ist mir aufgefallen, dass ich nicht spontan ein Gegenbeispiel zur Transitivität finde. Deswegen versuche ich doch, sie nachzuweisen. Es ist X\Y leer genau dann, wenn X Teilmenge von Y ist. Damit wird klar, dass die Relation transitiv ist:
Ist (X; Y) in der Relation, so ist X Teilmenge von Y. Ist (Y, Z) in der Relation, so ist Y Teilmenge von Z. Damit ist aber auch X Teilmenge von Z und somit (X; Z) in der Relation - passt!
(Die Kommentare, wieso ich Gegenbeispiele zu finden versuche oder mich am Nachweis versuche, sind natürlich nicht Teil der Lösung, sondern sollen dir einen Einblick in den Denkprozess geben, den ich hier durchlaufen habe :D )
+3976 Jetzt 9.2! Ich geh mal davon aus, dass die gegebene Äquivalenzrelation "rechnen modulo 7" ist? Und ich lass' zur einfachen Lesbarkeit mal die eckigen Klammern etc. weg. Dann ist
-7=-7+7=0
-5=-5+7=2
5 = 5-7 = -2
Die Begründung ist, dass sich der Rest beim Teilen durch 7 durch Addition von ganzzahligen Vielfachen von 7 nicht ändert.
Für b) können wir versuchen zu zeigen,d ass das Vertretersystem bzgl. der gegebenen Relation äquivalent zu dem Vertretersystem V von oben ist.
Es ist
-27=-27+28=1
33=33-35=-2
37=37-35=2
-8=-8+7=-1
73=73-70=3
-35=-35+35=0
-59=-59+56=-3
Das sind alle aus V, also ist auch die gegebene Menge ein Vertretersystem.
Zur Übung für dich: Ist {32, 40, 3, -28, 64, 13, -12} auch ein Vertretersystem?
+3976 9.3
Ich nehm' mal an, dass eine Ordnungsrelation bei euch Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität möchte. Antisymmetrie ist dabei: Ist (x, y) und (y, x) in der Relation, so muss x=y sein.
Für a) funktioniert das nicht: Mit x=1, y=2 und z=4 ist (x, y) in der Relation, (y, z) auch (denn 2-1 und 4-2 sind kleinergleich 2), aber (x, z) nicht, denn 4-1=3 ist nicht kleinergleich 2. Weil eine der Eigenschaften nicht erfüllt ist, ist sie keine Ordnungsrelation. (Antisymmetrie klappt auch nicht, kannst du ein Gegenbeispiel angeben?)
Die b) ist sogar eine, auch wenn ich's am Anfang nicht gedacht hätte:
Sie ist offenbar reflexiv, denn (x, x) ist für jede Zahl x in der Relation (weil x=x ist).
Sie ist antisymmetrisch, denn: Ist (x, y) und (y, x) in der Relation, aber x ist nicht gleich y, so muss x gerade sein & y ungerade, denn (x, y) ist in der Relation. Es muss aber auch y gerade und y ungerade sein, weil (y, x) in der Relation ist. Das kann aber nicht sein, also muss x=y sein.
Und sie ist transitiv, und jetzt wird's spannend:
Für Transitivität wollen wir zeigen: Ist (x, y) und (y, z) in der Relation, dann auch (x, z). Ist dabei x=y oder y=z, dann ist's trivial. Ist x=z, so ist wegen der Antisymmetrie auch y=z und jedes Tupel ist (x, x) und die Aussage wieder trivial.
Sind die Zahlen nun Paarweise verschieden, so muss aufgrund der Voraussetzungen (x, y) in der Relation sein und somit y ungerade sein, aber es muss auch (y, z) in der Relation sein und damit insbesondere y gerade. So etwas gibt es nicht. Daher kann nie ein Gegenbeispiel konstruiert werden und die Relation ist transitiv.
!
