Kann mir einer mit Energie helfen?

1) Berechnen Sie, um wie viele cm die Feder zusammengedrückt wurde?

2) Wie schnell ist die Kugel, wenn die Feder gerade entspannt ist?

3) Wie schnell ist die Kugel, wenn sie genau die Hälfte der höchsten Höhe erreicht hat?

Annahme: Es handelt sich um eine Stahlkugel.   \( \)

\(m_k=100g;\rho_{St}=7,87g/cm^3\\h_{max}=25cm;\ g =9,805m/s^2\\ Federh\ddot arte,\ Federkonstante\ \ D= 200 N/m\)

Hallo Zahlennoob!

Eine sehr schöne Aufgabe! Die Antworten 1) und 2) sind relativ einfach zu beantworten. Da werden die Energie einer ruhenden Kugel in der Höhe 25cm, die einer gespannten Feder und die einer bewegten Kugel miteinander verglichen. Sie ist gleich! (Robert Mayer's Satz von der Erhaltung der Energie) Die Antwort 3) ist schwieriger, weil die Energie der sich drehenden Kugel in die Rechnung einfließt.

1) Lageenergie, potentielle Energie einer gespannten Feder

Die gespannte Feder, die Kugel beim Abschuss, die rollende Kugel und die in der Höhe ruhende Kugel haben die gleiche Energie.

\(E=\ Gewicht \times H\ddot ohe\\ E=m\cdot g\cdot h =\dfrac{100g\cdot 9,805m\cdot25cm}{s^2}\cdot \dfrac {m}{100cm}\cdot \dfrac{kg}{1000g}\\ E=0,245\dfrac{kg\cdot m^2}{s^2}\)

\(E=0,245Nm=0,245J\)

Hook'sches Gesetz:   \(F=D\cdot \Delta l=D\cdot s\)

\(\Delta l=s\) ist ist die Längenveränderung der Feder beim Spannen.

In einer Feder kann Energie gespeichert werden, indem die entspannte Feder gedehnt oder gestaucht wird.

Die potentielle Energie der gespannten Feder ist gleich der potentiellen Energie der Kugel, die durch das Entspannen der Feder auf die Höhe von 25cm geschossen wurde.

  \(\color{blue}E=\dfrac{Ds^2}{2}\\ s=\sqrt{\dfrac{2E}{D}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 0,245Nm\cdot m }{200N}}\cdot \dfrac{100cm}m{}\)

\(s=4,951cm\)

Die Feder der Federpistole ist um 4,951cm zusammengedrückt.

2) Bewegungsenergie

Durch das Entspannen der Feder wird die Kugel horizontal beschleunigt auf ihre Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\). Auch die Bewegungsenergie der Kuglel ist die gleiche, wie ihre potentielle Energie in der Höhenlage, nämlich 0,245Nm.

Die Energieformel für eine geradlinig gleichförmige Bewegung ist:

\({\color{blue}E=\dfrac{mv_0^2}{2}}\ |\ umgestellt\ nach\ v_0\\ v_0=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 4,951Nm}{100g}\cdot \dfrac{kg\cdot m}{N\cdot s^2}\cdot \dfrac{1000g}{kg}}\)

\(v_0=9,95m/s\)

Die Abschussgeschwindigkeit der Kugel ist \(v_0=9,95m/s\)

3)

Die Berechnung der Kugelgeschwindigkeit auf  halber Höhe, übersteigt mein technisch-mathematisches Wissen. Die Kugel versetzt sich über die Haftreibung zu ihrer Unterlage in eine Rollbewegung. Dabei wird ein Teil ihrer Energie Drehenergie, die über ihr Massenträgheitsmoment ermittelt werden kann. Das könnte man lösen, wenn angenommen werden kann, dass die Kugel sofort ohne Schlupf zur Unterlage rollt. Das ist aber bei 10m/s Anfangsgeschwindigkeit nur schwer vorstellbar. Frage bitte mal nach, ob die Drehbewegung und der Luftwiderstand unberücksichtigt bleiben sollen. Dann wäre es lösbar aber auch sehr, sehr theoretisch.

Gruß

  !

Die Drehbewegung und der Widerstand der Luft sollen unberücksichtigt bleiben.

Also gilt:

3)

Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie der Kugel in \(\frac{1}{2}\cdot 25cm\) Höhe ist gleich der potentionellen Energie der Kugel in 25cm Höhe oder der potentiellen Energie der gespannten Feder, nämlich 0,245Nm.

\(\frac{mv^2}{2}+mgh=E\)

\(\frac{100g\cdot v^2}{2}+100g\cdot\frac{9,805m}{s^2}\cdot 12,5cm=0,245Nm\\ \frac{0,1kg\cdot v^2}{2}+0,1kg\cdot\frac{9,805m}{s^2}\cdot 0,125m=0,245Nm\cdot \frac{kgm}{N\cdot s^2}\\ 0,05kg\cdot v^2=(0,245-0,1225625)\cdot \frac{kgm^2}{s^2}\)

\(v^2=\frac{(0,245-0,1225625)\cdot \frac{kgm^2}{s^2}}{0,05kg}\\ v^2=2,449\cdot \frac{m^2}{s^2}\)

\(v=1,565m/s\)

Die Kugel hat die Geschwindigkeit v = 1,565m/s, wenn sie die Hälfte der höchsten Höhe erreicht hat.

   !