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f(x)= x^2 +4x 

[0,b] --> Integrationsgrenzen, wobei b herausgefunden werden muss

A=405


ich komme nicht auf b.. 

 f(x)= x^3-25x

[a,0]
A= 92,25

 

ich weiss, dass man die Gleichungen auflösen muss, jedoch komme ich bei diesen ,,schweren" Aufgaben nicht weiter... bei einfacheren geht es dann doch schon eher. 
 

 27.04.2021
 #1
avatar+12235 
+1

f(x)= x^2 +4x 

[0,b] --> Integrationsgrenzen, wobei b herausgefunden werden muss

A=405

 

Hallo Gast!

 

\(f(x)= x^2 +4x\)

\(\int _0^b(x^2+4x)dx=405\\ [\dfrac{x^3}{3}+2x^2]_0^b = 405\\ [\dfrac{b^3}{3}+2b^2]-[0]=405\\ \dfrac{ b^3}{3}+2b^2-405=0\)

\(\color{blue}b=9\)

laugh  !

 28.04.2021
bearbeitet von asinus  28.04.2021
bearbeitet von asinus  28.04.2021
 #2
avatar+12235 
+1

 f(x)= x^3-25x

[a,0]
A= 92,25

 

Hallo Gast!

 

\( f(x)= x^3-25x\\ \int_0^a(x^3-25x)dx=92,25\\ [\dfrac{x^4}{4}-12,5x^2]_0^a=92,25\\ [\dfrac{a^4}{4}-12,5a^2]-[0]=92,25\\ \dfrac{a^4}{4}-12,5a^2-92,25=0\\ \)

\(\color{blue}a=-4,2095\)

laugh  !

 28.04.2021
bearbeitet von asinus  28.04.2021
 #3
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+1

Dankeschön! Aber wie ist man auf die Ergebnisse gekommen? 😕 

 28.04.2021
 #4
avatar+2425 
0

Der werte Kollege asinus hat das Integral bestimmt, wie du es bis jetzt wahrscheinlich immer getan hast: Stammfunktion gefunden, Grenzen eingesetzt, "Obere Grenze minus untere Grenze", dann vereinfacht.

Im letzten Schritt findet er die Lösungen der Polynomgleichungen - das passiert hier zugegebenermaßen relativ knapp, vielleicht wurde hier ein Online-Rechner bemüht? ;)

Prinzipiell müsstest du die Lösung für b durch ausprobieren oder das Newton-Verfahren (Ist das aktuell noch Abi-Stoff?) finden. Für a kannst du mit z=a2 substituieren, dann die Mitternachtsformel nutzen und schließlich wieder Rück-Substituieren.

Probolobo  28.04.2021
 #5
avatar+2425 
0

Im Gegensatz zu einem Integral mit 2 festen Grenzen hängt hier halt das Ergebnis des Integrals von der einen unbekannten Integralgrenze ab. Das macht aber ja maximal Sinn, wie solltest du auch den Wert der zweiten Grenze bestimmen, wenn der gar nicht mehr vorkäme?

Probolobo  28.04.2021
 #6
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+1

Probiere ich gleich mal aus! 

 28.04.2021
 #7
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Ich hätte noch eine Frage:

 

Gehen wir bspw. davon aus (habe ein Beispiel in meinem Buch gesucht, leider keins gefunden :-( ), dass eine Kurve gegeben ist und man soll den FE berechnen. Die Kurve befindet sich komplett unterhalb der x- Achse. Integralgrenzen sind bspw. -1, 5

 

dann gilt:

 

F(5) - F(-1) 


Es ist ja bei Flächen unterhalb der x-Achse so, dass man noch ein zusätliches minus - vor das Ergebnis setzen muss. Gilt das auch dann, wenn man nur eine Fläche hat und nicht mehrere Teilfächen hat?

 28.04.2021
 #8
avatar+2425 
0

Das Integral "wertet" Flächen unter der x-Achse immer negativ. Wenn du den Flächeninhalt willst, muss das Vorzeichen noch auf "+" gestellt werden - das gilt auch, wenn es nur um ein Flächenstück geht, ja. Sonst wär dein Flächeninhalt ja negativ, das macht nicht wirklich Sinn.

 

Empfehlenswert ist folgendes Vorgehen, wenn's um Flächeninhalte geht:
Erstmal alle Nullstellen im Intervall, wo die Fläche bestimmt werden soll, bestimmen. Dann "von Nullstelle zu Nullstelle" integrieren und um alle Integrale einfach Betragsstriche machen - dann passt's am Ende immer. Klappt dann auch, wenn's nur eine Fläche ohne Nullstellen ist - dann hast du halt ein einziges Ingetral und da sind Betragsstriche drum rum, deswegen passt das Vorzeichen und alles ist gut.

 28.04.2021

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