Integration- kann jemand helfen?

Hallo,
ich komme gerade etwas nicht weiter. Die Informationen die gegeben sind, muss ich ja im prinzip in die Formel einfügen. Muss ich es aber noch Aufleiten? Das verwirrt mich, da ja bereits "F(s)". Und wenn ich aufleiten muss, wie leite ich dann eine Formel auf? Kann mir da jemand helfen?:-)
Außerdem verstehe ich die b) nicht, was genau ist da gefragt ?

Die Zahlenwerte kannst Du selbst ausrechnen. Auf jeden Fall stimmt die Einheit. Ich hoffe dass ich mich nicht verrechnet habe.

Um die Erdanziehungskraft zu überwinden, braucht man die erste astronomische Geschwindigkeit. Darüber findest Du sicher etwas im Netz.

Hallo Gast!

zu Aufgabe 10a)

Konstante \(K=\gamma \cdot m \cdot M\)

\(K=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{m^3}{kg\cdot s^2}\cdot 10^3kg\cdot 5,97\cdot 10^{24}kg\\ K=39,8199\cdot 10^{16}\cdot \frac{m^3kg}{s^2}\)

\(W=\int_{6\ 370\ 000}^{42\ 200\ 000} \! \frac{K}{s^2} \, ds \\ W=\int_{6\ 370\ 000}^{42\ 200\ 000} \! Ks^{-2} \, ds\\ W=[-\frac{K}{s}]_{6\ 370\ 000}^{42\ 200\ 000}\\ W=-\frac{K}{42\ 200\ 000m}-(-\frac{K}{6\ 370\ 000m})\\ W=-\frac{K}{42\ 200\ 000m}+\frac{K}{6\ 370\ 000m}=\frac{42\ 200\ 000mK-6\ 370\ 000mK}{42\ 200\ 000\cdot6\ 370\ 000\cdot m^2}\)

\(W=\frac{3,583\cdot 10^7\cdot m\cdot K}{2,6881\cdot 10^{14}m^2}\\ W=\frac{3,583\cdot K}{2,6881\cdot 10^7\cdot m}\)

\(W=\frac{3,538}{2,6881\cdot 10^7m}\times 39,8199\cdot 10^{16}\cdot \frac{m^3kg}{s^2}\\ W=5,241\cdot 10^{10}\cdot \color{blue}\frac{m^2kg}{s^2}\cdot \frac{N\cdot s^2}{kg\cdot m}\)

\(W=5,241\cdot 10^{10}Nm\)

Bei der Aufgabe 10b) setze als Integrationsobergrenze \(\infty \) ein.

Grüße von

  !

Hallo Gast!

zu Aufgabe 10b)

\(W=\int_{6\ 370\ 000\ m}^{\infty } \! \frac{K}{s^2} \, ds \\ W=\int_{6\ 370\ 000\ m}^{\infty } \! Ks^{-2} \, ds\\ W=[-\frac{K}{s}]_{6\ 370\ 000\ m}^{\infty }\\ W=-\frac{K}{\infty }-(-\frac{K}{6\ 370\ 000\ m})\\ W=0+\frac{K}{6\ 370\ 000\ m}\)

\(K=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{m^3}{kg\cdot s^2}\cdot 10^3kg\cdot 5,97\cdot 10^{24}kg\\ K=39,8199\cdot 10^{16}\cdot \frac{m^3kg}{s^2}\)

\(W=\frac{39,8199\cdot10^{16}\cdot \frac{m^3kg}{s^2}}{6\ 370\ 000\ m}\\ W=6,251\cdot10^{10}\cdot \color{blue}\frac{m^2kg}{s^2}\cdot \frac{Ns^2}{mkg}\\ \color{blue} W= 6,251\cdot 10^{10}Nm\)

Gruß von

  !

 Integration- kann jemand helfen?

\(\text{$10 a$) in eine geostationäre Bahn ($ h_2 = 4,22\cdot 10^4\ km$ ) zu bringen;}\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline W = \displaystyle \int \limits_{h_1}^{h_2} F(s) ds &=& \displaystyle \int \limits_{h_1}^{h_2} \gamma \dfrac{mM}{s^2} ds \\\\ &=& \displaystyle \gamma mM \int \limits_{h_1}^{h_2} \dfrac{1}{s^2} ds \\\\ &=& \displaystyle \gamma mM \int \limits_{h_1}^{h_2} s^{-2} ds \\\\ &=& \gamma mM \left[ \dfrac{s^{-2+1}}{-2+1} \right]_{h_1}^{h_2} \\\\ &=& \gamma mM \left[ \dfrac{s^{-1}}{-1} \right]_{h_1}^{h_2} \\\\ &=& \gamma mM \left[ -s^{-1} \right]_{h_1}^{h_2} \\\\ &=& -\gamma mM \left[ s^{-1} \right]_{h_1}^{h_2} \\\\ &=& -\gamma mM \left[ \dfrac{1}{s} \right]_{h_1}^{h_2} \\\\ &=& -\gamma mM \left( \dfrac{1}{h_2} - \dfrac{1}{h_1} \right) \\\\ &=& -\gamma mM \left( \dfrac{h_1-h_2}{h_1h_2} \right) \\\\ \mathbf{W} & \mathbf{=} & \mathbf{ \gamma mM \left( \dfrac{h_2-h_1}{h_1h_2} \right) } \\ \hline \end{array}\)

\(\text{$W=\ ?$} \)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline W &=& 6,67\cdot 10^{-11} \dfrac{m^3}{kg s^2} \cdot 10^3\ kg \cdot 5,97\cdot 10^{24}\ kg \left( \dfrac{4,22-0,6370}{4,22\cdot 0,6730} \right)\cdot \dfrac{1}{10^7\ m} \\\\ &=& 6,67\cdot 5,97 \cdot \left( \dfrac{4,22-0,6370}{4,22\cdot 0,6730} \right)\cdot 10^{-11}\cdot 10^3\cdot 10^{24}\cdot 10^{-7} \dfrac{m^3}{kg s^2}\ kg^2 \dfrac{1}{m} \\\\ &=& 39,8199 \cdot\left( \dfrac{3,5830}{2,68814} \right)\cdot 10^{9} \dfrac{kg\cdot m^2}{s^2} \\\\ &=& 39,8199 \cdot 1.33289188807\cdot 10^{9} \ Nm \\\\ &=& 53,0756216938\cdot 10^{9} \ Nm \\\\ \mathbf{W} & \mathbf{=} & \mathbf{5,30756216938\cdot 10^{10} \ Nm} \\ \hline \end{array}\)

\(\text{$10 b$) aus dem Anziehungsbereich der Erde "hinauszubefördern" ?}\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{W} & \mathbf{=} & \mathbf{-\gamma mM \left( \dfrac{1}{h_2} - \dfrac{1}{h_1} \right) } \\\\ & = & \gamma mM \left( \dfrac{1}{h_1} - \dfrac{1}{h_2} \right) \quad & | \quad \dfrac{1}{h_2} = \dfrac{1}{\infty} = 0 \\\\ \mathbf{W} & \mathbf{=} & \mathbf{ \gamma mM \left( \dfrac{1}{h_1} \right) } \\ \hline \end{array}\)

\(\text{$W=\ ?$}\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline W &=& 6,67\cdot 10^{-11} \dfrac{m^3}{kg s^2} \cdot 10^3\ kg \cdot 5,97\cdot 10^{24}\ kg \left( \dfrac{1}{0,6730} \right)\cdot \dfrac{1}{10^7\ m} \\\\ &=& 6,67\cdot 5,97 \cdot \left( \dfrac{1}{0,6730} \right)\cdot 10^{-11}\cdot 10^3\cdot 10^{24}\cdot 10^{-7} \dfrac{m^3}{kg s^2}\ kg^2 \dfrac{1}{m} \\\\ &=& 39,8199 \cdot \left( \dfrac{1}{0,6730} \right)\cdot 10^{9} \dfrac{kg\cdot m^2}{s^2} \\\\ &=& \left( \dfrac{39,8199}{0,6730} \right)\cdot 10^{9} \ Nm \\\\ &=& 59,1677563150\cdot 10^{9} \ Nm \\\\ \mathbf{W} & \mathbf{=} & \mathbf{5,91677563150\cdot 10^{10} \ Nm} \\ \hline \end{array}\)