f : R → R^2 , x 7→ (x − 3, 5x)
g : R^2 → R, (x1, x2) 7→ 2x2 − x1
hallo, ich soll beweisen ob die Funktionen surjektiv und oder injektiv sind. Kann mir jemand helfen?
LG
+3976 f ist nicht surjektiv, denn z.B. ist (1, 5) nicht in Bild(f) enthalten (warum?)
f ist injektiv, denn jeder Bestandteil ist eine Gerade, die sind immer injektiv.
Man könnte hier natürlich auch die Definition nachrechnen. Der vollständigkeit halber tun wir das:
Sei f(x) = f(y).
Dann ist (x-3, 5x) = (y-3;5y). Aus der ersten Komponente folgt nach Addition von 3, dass x=y sein muss. Aus der zweiten Komponente folgt das gleiche nach Teilen durch 5. Wir finden also heraus: f(x)=f(y) => x=y. Das ist genau die Definition von Injektivität.
g ist surjektiv, denn es ist g(-x, 0) = x - wir können also zu jeder Zahl in R ein Urbild (-x, 0) angeben.
g ist aber nicht injektiv, denn es ist g(0;0) = g(2;1).
