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Kann mir das jemand per Induktion beweisen, und wenn möglich mir die einzelnen Schritte erklären. Ich wäre sehr dankbar dafür!

 

\(\left | \sum_{k=1}^{n}ak \right | <= \sum_{k=1}^{n} \left | ak \right |\)

 17.11.2021
 #1
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Klar - wir brauchen dafür nur die Dreiecksungleichung: \(|a+b| \leq |a|+|b|\)

Wir starten mit dem Induktionsanfang: Stimmt die Ungleichung für n=1? Das ist klar, denn für n=1 sind beide seiten einfach nur |a|.

Dann kommt die Induktionsvoraussetzung (IV): Wir nehmen an, für eine Zahl n würde die Aussage gelten, es ist also 

\(\left | \sum_{k=1}^{n}ak \right | \leq \sum_{k=1}^{n} \left | ak \right |\) für eine Zahl n.

Nun folgern wir daraus, dass die Aussage auch für die folgende Zahl, also n+1 gelten muss (Induktionsschritt):

Bei * nutze ich die Dreiecksungleichung, bei ** die IV.

\(\left | \sum_{k=1}^{n+1}ak \right | = \\ \left | (\sum_{k=1}^{n}ak ) +a(n+1)\right | \leq^* \\ | (\sum_{k=1}^{n}ak )| +|a(n+1) | \leq^{**} \\ \sum_{k=1}^{n}|ak| + |a(n+1)| = \\ \sum_{k=1}^{n+1}|ak| \)

 

Damit ist die Aussage für alle n gezeigt. Wenn was unklar ist frag' gern nochmal nach!

 17.11.2021
 #2
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Vielen Dank das ist sehr hilfreich!!

 17.11.2021

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