Kann mir das jemand per Induktion beweisen, und wenn möglich mir die einzelnen Schritte erklären. Ich wäre sehr dankbar dafür!
|∑nk=1ak|<=∑nk=1|ak|
+3976 Klar - wir brauchen dafür nur die Dreiecksungleichung: |a+b|≤|a|+|b|.
Wir starten mit dem Induktionsanfang: Stimmt die Ungleichung für n=1? Das ist klar, denn für n=1 sind beide seiten einfach nur |a|.
Dann kommt die Induktionsvoraussetzung (IV): Wir nehmen an, für eine Zahl n würde die Aussage gelten, es ist also
|∑nk=1ak|≤∑nk=1|ak| für eine Zahl n.
Nun folgern wir daraus, dass die Aussage auch für die folgende Zahl, also n+1 gelten muss (Induktionsschritt):
Bei * nutze ich die Dreiecksungleichung, bei ** die IV.
|∑n+1k=1ak|=|(∑nk=1ak)+a(n+1)|≤∗|(∑nk=1ak)|+|a(n+1)|≤∗∗∑nk=1|ak|+|a(n+1)|=∑n+1k=1|ak|
Damit ist die Aussage für alle n gezeigt. Wenn was unklar ist frag' gern nochmal nach!
