In einem Raum gibt es 8 Lampen, die man unabhängig voneinander ein- und ausschalten kann. Wie viele Beleuchtungsarten gibt es, wenn

In einem Raum gibt es 8 Lampen, die man unabhängig voneinander ein- und ausschalten kann. Wie viele Beleuchtungsarten gibt es, wenn

a) genau 5 Lampen brennen sollen,

$$\small{\text{
$
\left(\begin{array}{c}8\\5\end{array}\right)
=\dfrac{8\ !}{5\ ! \cdot (8-5)\ ! }
=\dfrac{8\ !}{5\ ! \cdot 3\ ! }
=\dfrac{5\ !\cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{5\ ! \cdot 3\ ! }
=\dfrac{ 6 \cdot 7 \cdot 8}{ 3\ ! }
=\dfrac{ 6 \cdot 7 \cdot 8}{ 6 }
= 7 \cdot 8
= 56
$
}}$$

b) mindestens 5 Lampen brennen sollen?

Alle Beleuchungsarten( inkl. keine Leuchte brennt! ) =

$$\\ \small{\text{
$
\left(\begin{array}{c}8\\0\end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c}8\\1\end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c}8\\2\end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c}8\\3\end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c}8\\4\end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c}8\\5\end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c}8\\6\end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c}8\\7\end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c}8\\8\end{array}\right)
=2^8
$
}}\\\\
\small{\text{mindestens 5 Leuchten brennen $=2^8
-
\left(\begin{array}{c}8\\0\end{array}\right)
-\left(\begin{array}{c}8\\1\end{array}\right)
-\left(\begin{array}{c}8\\2\end{array}\right)
-\left(\begin{array}{c}8\\3\end{array}\right)
-\left(\begin{array}{c}8\\4\end{array}\right)
$ }}\\\\
\small{\text{
$
\left(\begin{array}{c}8\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{0}\end{array}\right) = 1 $ (kein Leuchte brennt)
}}\\
\small{\text{
$
\left(\begin{array}{c}8\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{1}\end{array}\right) = 8 $ (eine Leuchte brennt)
}}\\
\small{\text{
$
\left(\begin{array}{c}8\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{2}\end{array}\right) = 28 $ (zwei Leuchten brennen)
}}\\
\small{\text{
$
\left(\begin{array}{c}8\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{3}\end{array}\right) = 56 $ (drei Leuchten brennen)
}}\\
\small{\text{
$
\left(\begin{array}{c}8\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{4}\end{array}\right) = 70 $ (vier Leuchten brennen)
}}\\\\
\small{\text{mindestens 5 Leuchten brennen
$=2^8 -1-8-28-56-70 $}}\\
\small{\text{$=256-1-8-28-56-70=93 $ }}$$