In einem Lostopf sind 20 Loszettel, wobei einer davon Ihnen gehört. Es werden 3 Preise ausgelost. Ein Zettel, der gewonnen hat, wird vor der nächsten Ziehung

In einem Lostopf sind 20 Loszettel, wobei einer davon Ihnen gehört. Es werden 3 Preise ausgelost. Ein Zettel, der gewonnen hat, wird vor der nächsten Ziehung zurück in den Lostopf gelegt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie genau einen Preis gewinnen.

Wie berechnet man das?

Die Wahrscheinlichkeit das mein Los bei einer Ziehung gezogen wird ist $\frac{1}{20}$

Die Wahrscheinlichkeit das mein Los bei einer Ziehung nicht gezogen wird ist $1-\frac{1}{20} = \frac{19}{20}$

Die Baumstruktur:

$\small{ \begin{array}{lccccccccccccccc} & & & & & & &20\ \text{Lose}& & & & & & & & \\ & & & & & & & | & & & & & & & & \\ & & & & + & - & - & -+- & - & - & - & + & & & & \\ & & & & | & & & & & & & | & & & & \\ 1.\text{ Ziehung}& & & &\frac{1}{20}& & & & & & &\frac{19}{20}& & & & \\ & & & & | & & & & & & & | & & & & \\ & & + & - & -+- & - & + & & & + & - & + & - & + & & \\ & & | & & & & | & & & | & & & & | & & \\ 2.\text{ Ziehung}& &\frac{1}{20}& & & &\frac{19}{20}& & &\frac{1}{20}& & & &\frac{19}{20}& & \\ & & | & & & & | & & & | & & & & | & & \\ & + & -+- & + & & + & -+- & + & + & -+- & + & & + & -+- & + & \\ & | & & | & & | & & | & | & & | & & | & & | & \\ 3.\text{ Ziehung}&\frac{1}{20}& &\frac{19}{20}& &\frac{1}{20}& &\frac{19}{20}&\frac{1}{20}& &\frac{19}{20}& &\frac{1}{20}& &\frac{19}{20}& \\ \text{Ereignisse}& E_1& & E_2& & E_3& & \mathbf{E_4} & E_5& & \mathbf{E_6}& &\mathbf{E_7}& & E_8& \\ \end{array} }$

Die Ereignisse, um genau einen Preis zu gewinnen sind: $\mathbf{E_4, E6 \text{ und } E_7}$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt:

$\begin{array}{rcll} \frac{1}{20}\cdot \frac{19}{20}\cdot \frac{19}{20} + \frac{19}{20}\cdot \frac{1}{20}\cdot \frac{19}{20}+ \frac{19}{20}\cdot \frac{19}{20}\cdot \frac{1}{20} &=& 3\cdot \frac{1}{20}\cdot \frac{19}{20}\cdot \frac{19}{20}\\ &=& 3\cdot \frac{19^2}{20^3}\\ &=& \frac{1083}{8000}\\ &=& 0,135375\\ &=& 13,5375\ \%\\ \end{array}$