In einem Kreis mit dem Radius 1 wird ein gleichseitiges Dreieck einbeschrieben. In dieses Dreieck wird wiederum ein Kreis eingeschrieben; hierin ein gleichseitiges Dreieck usw. Dieser Prozess werde unbegrenzt fortgeführt. Der Grenzwert für die Summe der Flächenonhalte aller Kreise beträgt dann was?
+14923 Hallo anonymous,
der Radius des Inkreises im 1. eingeschriebenen Dreieck ist
r(1)=1*sin30°=1/2 Danach folgt
r(2)=(1/2)*sin30°=1/4
r(3)=(1/4)*sin30°=1/8
usw.
Die Summe aus dem Ausgangskreis und den Flächen aller dieser Inkreise ist
A = π * {1² + [(1/2)² + (1/4)²+ (1/8)² ... + (1/∞)²]}
A = π * {1² + [∑(n=1 bis n=∞) von (1/2)^n] }
A = π * {1² + [(1/2)/(1 -1/2)]} = π * (1 + 1) = 2π = 6,283185 ...
Der Grenzwert der Summe aus der Fläche des Ausgangskreises mit dem
Radius 1 und den Flächen aller Inkreise ist
A = 2π
Gruß asinus :- )
+14923 Hallo anonymous,
der Radius des Inkreises im 1. eingeschriebenen Dreieck ist
r(1)=1*sin30°=1/2 Danach folgt
r(2)=(1/2)*sin30°=1/4
r(3)=(1/4)*sin30°=1/8
usw.
Die Summe aus dem Ausgangskreis und den Flächen aller dieser Inkreise ist
A = π * {1² + [(1/2)² + (1/4)²+ (1/8)² ... + (1/∞)²]}
A = π * {1² + [∑(n=1 bis n=∞) von (1/2)^n] }
A = π * {1² + [(1/2)/(1 -1/2)]} = π * (1 + 1) = 2π = 6,283185 ...
Der Grenzwert der Summe aus der Fläche des Ausgangskreises mit dem
Radius 1 und den Flächen aller Inkreise ist
A = 2π
Gruß asinus :- )
