In einem Gefäß befinden sich eine weiße, vier rote und fünf blaue Kugeln. Es werden gleichzeitig zwei Kugeln gezogen.

In einem Gefäß befinden sich eine weiße(w), vier rote(r) und fünf blaue(b) Kugeln. Es werden gleichzeitig zwei Kugeln gezogen.

Baum:

1w,4r,5b ( Anzahl Kugeln = 10 )

1. Ziehung  w gezogen ( 1/10 )

                  r gezogen  ( 4/10 )

                  b gezogen ( 5/10 )

2. Ziehung w und  r gezogen ( 1 / 10 ) * ( 4 /9 )

                 w und b gezogen ( 1 / 10 ) * ( 5 / 9 )

                 r und r gezogen ( 4 / 10) * ( 3 / 9 )

                 r und b gezogen ( 4 / 10 ) * ( 5 / 9 )

                 r und w gezogen ( 4 / 10 ) * ( 1 / 9 )

                 b und r gezogen ( 5 / 10 ) * ( 4 / 9 )

                 b und b gezogen ( 5 / 10 ) * ( 4 / 9 )

                 b und w gezogen ( 5 / 10 ) * ( 1 / 9 )

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden zwei verschiedenfarbige Kugeln gezogen?

$$\small{\text{
Farben wr, wb, rb,rw, br,bw:
}}\\
\small{\text{
$
\frac{1}{10}\cdot \frac{4}{9}
+\frac{1}{10}\cdot \frac{5}{9}
+\frac{4}{10}\cdot \frac{5}{9}
+\frac{4}{10}\cdot \frac{1}{9}
+\frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9}
+\frac{5}{10}\cdot \frac{1}{9}
=\frac{1\cdot4+1\cdot 5+ 4\cdot 5 +4\cdot 1 + 5\cdot 4 + 5\cdot 1}{10\cdot 9}
=\dfrac{58}{90}=64,\overline{4}\%
$
}}$$

$$=\dfrac{ \binom11\cdot\binom41\cdot\binom50 +\binom11\cdot\binom40\cdot\binom51 + \binom10\cdot \binom41\cdot \binom51 } {\binom{10}{2}}$$

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine der gezogenen Kugeln rot ist?

$$\small{\text{
Farben wr,wb, rb, rw, br, bb, bw:
}}\\
\small{\text{
$
\frac{1}{10} \cdot \frac{4}{9}
+\frac{1}{10}\cdot \frac{5}{9}
+\frac{4}{10}\cdot \frac{5}{9}
+\frac{4}{10}\cdot \frac{1}{9}
+\frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9}
+\frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9}
+\frac{5}{10}\cdot \frac{1}{9}
=\frac {1\cdot 4+ 1\cdot 5+ 4\cdot 5 +4\cdot 1 + 5\cdot 4 +5\cdot 4 + 5\cdot 1 }{10\cdot 9}
=\dfrac{78}{90}=86,\overline{6}\%
$
}}$$

$$=\dfrac{ \binom41\cdot\binom61 + \binom40\cdot\binom62 } {\binom{10}{2}}$$