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Ich habe 1.000.000.000 Euro und möchte wissen, wie oft ich davon ein Objekt y kaufen kann, wobei Objekt y mit jedem einzelnen Kauf um 50 Euro teurer wird. Wie errechne ich, wieviele ich unter steigendem Kaufwert mit dem Kapital kaufen kann?

 

Danke schonmal für die Antworten :)

Guest 03.10.2016
 #1
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Hallo Gast,

 

nehmen wir an dass Objekt kostet beim ersten Kauf y GE.

Der Preis pro Objekt ändert sich dann pro Kauf um x GE.

 

Das heißt beim ersten Kauf zahle ich 1*y GE beim zweiten Kauf dann 2*(y + x) usw.

 

Die Investitionssumme beträgt I GE.

Wir suchen nun die Anzahl der Investitionen m, die wir in das Gut y Investieren könnten

 

Dadurch ergibt sich folgende Gleichung:

 

\(\sum\nolimits_{i=1}^m i*(y + (i-1)*x) \stackrel{!}{=} I\)

 

Wenn wir nun die Gaußssche Summenformel und die Erweiterung davon anwenden erhalten wir folgendes:

 

\(\sum\nolimits_{i=1}^m i*(y + (i-1)*x) \\ = \sum\nolimits_{i=1}^m i^2*x + \sum\nolimits_{i=1}^m i*(y-x) \\ = x* \frac{m*(m+1)(2m + 1)}{6} + (y-x)*\frac{m(m+1)}{2} \\ = ... (\text{einfach umformen}) \\ = 2*x*m^3 + 3*y*m^2 + (3*y - 2*x)*m \stackrel{!}{=} 6*I \)

 

Bei deinem Oben genannten Beispiel ergibt sich dann folgende Zuweisung:

 

I = 1.000.000.000 (Investitionssumme)

y = 100 (Ursprungspreis z.B.)

x = 50 (Steigerung je Kauf)

 

Man erhält also:

 

\(2*50*m^3 + 3*100*m^2 + (3*100 - 2*50)*m \stackrel{!}{=} 6*1.000.000.000 \\ \Leftrightarrow m^3 +3*m^2 + 2*m = 60.000.000 \\ \Leftrightarrow m \approx 390,49 \text{ (mit Wolfram Alpha berechnet})\)

 

Du kannst also 390 mal in das Objekt Investieren.

 

Für andere Beispiele musst du dann nur entsprechend y,x und I anpassen.

 

 

Grüße

Gast 04.10.2016
bearbeitet von Gast  04.10.2016
 #2
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Ich muss meine Antwort verbessern, was ich dort gemacht habe ist völlig falsch.

 

Beim ersten Kauf zahle ich 1*y GE, beim zweiten 1*y + 1*x beim dritten dann 1*y + 2*x usw.

Daher ergibt sich eine völlig andere Gleichung, nämlich:

 

 

\(m*y + \sum\nolimits_{i=1}^m (i-1)*x = I\)

 

Durch die Gaussche Summenformel erhält man dann:

 

\(y*m + x* \sum\nolimits_{i=1}^m (i-1) \\ = y* m - x*m + x*\sum\nolimits_{i=1}^m i \\ = (y-x)*m + x*\frac{m(m+1)}{2} \stackrel{!}{=} I\)

 

Dies entspricht einer quadratischen Gleichung die Mithilfe der pq-Formel oder weiteren gelöst werden kann.

Wobei die positive Lösung die gesuchte ist.

 

Mit dem gegebene Beispiel erhält mann dann:

 

\((100-50)*m + 50*\frac{m(m+1)}{2} = 1.000.000.000 \\ \Rightarrow m \approx 6323.0554\)

 

somit kann man 6323 mal in das Objekt Investieren.

Ich denke dieser Ansatz müsste passen.

 

Grüße

Gast 04.10.2016

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