Ich habe 1.000.000.000 Euro und möchte wissen, wie oft ich davon ein Objekt y kaufen kann, wobei Objekt y mit jedem einzelnen Kauf um 50 Euro teurer wird. Wie errechne ich, wieviele ich unter steigendem Kaufwert mit dem Kapital kaufen kann?
Danke schonmal für die Antworten :)
Hallo Gast,
nehmen wir an dass Objekt kostet beim ersten Kauf y GE.
Der Preis pro Objekt ändert sich dann pro Kauf um x GE.
Das heißt beim ersten Kauf zahle ich 1*y GE beim zweiten Kauf dann 2*(y + x) usw.
Die Investitionssumme beträgt I GE.
Wir suchen nun die Anzahl der Investitionen m, die wir in das Gut y Investieren könnten
Dadurch ergibt sich folgende Gleichung:
\(\sum\nolimits_{i=1}^m i*(y + (i-1)*x) \stackrel{!}{=} I\)
Wenn wir nun die Gaußssche Summenformel und die Erweiterung davon anwenden erhalten wir folgendes:
\(\sum\nolimits_{i=1}^m i*(y + (i-1)*x) \\ = \sum\nolimits_{i=1}^m i^2*x + \sum\nolimits_{i=1}^m i*(y-x) \\ = x* \frac{m*(m+1)(2m + 1)}{6} + (y-x)*\frac{m(m+1)}{2} \\ = ... (\text{einfach umformen}) \\ = 2*x*m^3 + 3*y*m^2 + (3*y - 2*x)*m \stackrel{!}{=} 6*I \)
Bei deinem Oben genannten Beispiel ergibt sich dann folgende Zuweisung:
I = 1.000.000.000 (Investitionssumme)
y = 100 (Ursprungspreis z.B.)
x = 50 (Steigerung je Kauf)
Man erhält also:
\(2*50*m^3 + 3*100*m^2 + (3*100 - 2*50)*m \stackrel{!}{=} 6*1.000.000.000 \\ \Leftrightarrow m^3 +3*m^2 + 2*m = 60.000.000 \\ \Leftrightarrow m \approx 390,49 \text{ (mit Wolfram Alpha berechnet})\)
Du kannst also 390 mal in das Objekt Investieren.
Für andere Beispiele musst du dann nur entsprechend y,x und I anpassen.
Grüße
Ich muss meine Antwort verbessern, was ich dort gemacht habe ist völlig falsch.
Beim ersten Kauf zahle ich 1*y GE, beim zweiten 1*y + 1*x beim dritten dann 1*y + 2*x usw.
Daher ergibt sich eine völlig andere Gleichung, nämlich:
\(m*y + \sum\nolimits_{i=1}^m (i-1)*x = I\)
Durch die Gaussche Summenformel erhält man dann:
\(y*m + x* \sum\nolimits_{i=1}^m (i-1) \\ = y* m - x*m + x*\sum\nolimits_{i=1}^m i \\ = (y-x)*m + x*\frac{m(m+1)}{2} \stackrel{!}{=} I\)
Dies entspricht einer quadratischen Gleichung die Mithilfe der pq-Formel oder weiteren gelöst werden kann.
Wobei die positive Lösung die gesuchte ist.
Mit dem gegebene Beispiel erhält mann dann:
\((100-50)*m + 50*\frac{m(m+1)}{2} = 1.000.000.000 \\ \Rightarrow m \approx 6323.0554\)
somit kann man 6323 mal in das Objekt Investieren.
Ich denke dieser Ansatz müsste passen.
Grüße
