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Guten Morgen,
dieses Mal komme ich mit Mathe statt Energie. Wäre einer so freundlich mir die Aufgaben zu beantworten und vielleicht eine kleine Erklärung dazu schreiben?

 

Eine Funktion g(x) ist gegeben durch g(x) = sin(x) + cos(x).
a) Erstellen Sie eine Wertetabelle im Intervall \(\left [-\varpi, 2\varpi \right ]\)in Schritten zu \(\frac{\varpi }{4}\).

b) Geben Sie die Periode und Wertemenge von g an.

c) Geben Sie die Nullstellen von g in genannten Intervall an.

 08.07.2021
 #1
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Eine Funktion g(x) ist gegeben durch g(x) = sin(x) + cos(x).
a) Erstellen Sie eine Wertetabelle im Intervall \(\left [-\varpi, 2\varpi \right ] \) in Schritten zu \(\frac{\varpi }{4} \).

b) Geben Sie die Periode und Wertemenge von g an.

c) Geben Sie die Nullstellen von g in genannten Intervall an.

 

Guten Morgen Zahlennoob!

 

Was hast du denn mit der Lemniskatischen Konstante \(\varpi =2,62205\ 75542\ ...\) zu tun?

Über diese Aufgaben muss ich ein Weilchen nachdenken.

zu c)

Die Nullstellen sind bei  \(x=\frac{1}{4}(4\pi n-\pi)\ |\ n\in \mathbb Z\).

Wie das ausgerechnet wird, weiß ich leider nicht.

Dann bis bald

laugh !

 08.07.2021
 #2
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An sich habe ich eigentlich gar nichts damit zu tun, auch im Buch wird davon nicht gesprochen sodass ich auch keine Ahnung habe was ich damit anstellen soll. Hoffe einfach nur das du oder irgendeiner hier mir irgendwie helfen könnte :)
(P.S. Danke schon einmal für Aufgabe c)

Bis bald! :)

Zahlennoob  08.07.2021
 #3
avatar+2535 
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Zur a):
Die Wertabelle mit dieser Konstanten zu erstellen ist ein bisschen komisch, aber lässt sich wohl schon machen - das funktioniert eigentlich wie bei jeder Wertetabelle: Du setzt zuerst \(- \varpi\) ein, dann \(- \frac{3}{4} \varpi\) etc. bis zu \(2\varpi\) und schreibst x- und y-Werte zusammen in eine Tabelle.

 

b):
Da sowohl sin(x) als auch cos(x) periodisch mit Periodenlänge 2Pi sind, ist auch g(x) periodisch mit Periodenlänge 2Pi.

Für die Hochpunkte betrachten wir g'(x) = cos(x)-sin(x) - diese Funktion hat Nullstellen genau dort, wo sin(x)=cos(x) ist. Das ist beispielsweise bei Pi/4 der Fall. Es ist \(g(\frac{\pi}{4}) = \sqrt2\), daher ist die Wertemenge \(\mathbb{W} = [-\sqrt2 ; \sqrt2]\).

 

c):
Für die Nullstellen muss sin(x) = -cos(x) sein. Verwendet man, dass sin(x) = -cos(Pi/2 +x) gilt  (das findet man beispielsweise hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Wertebereich_und_spezielle_Funktionswerte), muss also gelten

-cos(Pi/2+x) = -cos(x)

-> cos(Pi/2+x) = cos(x)

Wir suchen also 2 Stellen, die Pi/2 weit auseinander sind, bei denen der cosinus den selben Wert annimmt. Das ist wegen der Regelmässigkeit des Cosinus immer symmetrisch um die Extremstellen der Fall, also zB. symmetrisch um die 0, dann dort hat der Cosinus einen Hochpunkt. Damit die Stellen Pi/2 auseinander sind, brauchen sie die Hälfte, also Pi/4, Abstand zum Hochpunkt, wir suchen also die Stellen -Pi/4 und Pi/4. Weil das die Stellen Pi/2+x und x sein sollen, muss also x=-Pi/4 sein, dann dann ist Pi/2+x)=Pi/4.

So haben wir schonmal mit Pi/4 eine Nullstelle unserer Funktion g. Durch die sog. Supplementbeziehungen für sinus und cosinus ist klar, dass, wenn eine Zahl z eine Nullstelle ist, auch z+Pi eine Nullstelle ist, denn es gilt:

\(g(z+\pi)=sin(z+\pi) + cos(z+\pi) = -sin(z)-cos(z) = -(sin(z)+cos(z)) = -g(z)=0.\)

Weil man dieses Argument so oft wie möglich durchziehen kann (und genauso auch mit z-Pi), ist also -Pi/4 nicht die einzige Nullstelle, sondern wir erhalten alle Nullstellen wie folgt:

\(x_k = \frac{-\pi}{4} + k \cdot \pi\) für ganze Zahlen k. (Umgeformt und mit n statt k ergibt das genau die Formel von asinus übrigens.)

Für deine Aufgabe musst du jetzt nur noch ein Paar Werte für k einsetzen (beginn' mit 0 und arbeitet dich hoch) und schauen, ab wann du aus dem gegebenen Intervall "rausrutscht".

Ich hoff' das war verständlich, frag' gern nochmal nach wenn was unklar ist :)

 08.07.2021
 #4
avatar+46 
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Guten Abend, sorry das ich mich erst jetzt melde.

 

zu a) Ich verstehe halt allgemein nicht wie man mit diesen Zahlen und \(\varpi \) eine Wertetabelle macht, ich kenne das bislang nur mit vollen Zahlen. Und meinst du die x und y Werte die ich in den Graphen eingezeichnet habe? also jetzt bsp. -2\(\varpi \) als x-Wert und dann als y- Wert 1?

 

zu b) habe ich alles verstanden, danke! :)

zu c) habe ich mal ein paar Mal versucht das irgendwie zu machen aber ich schnall es halt absolut nicht :(

 

Dieses Thema in Mathe macht mich echt fertig :(

Zahlennoob  10.07.2021
 #5
avatar+2535 
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Zur a): Du machst eigentlich genau das gleiche wie mit den ganzen Zahlen, nur dass du halt statt den ganzen Zahlen Vielfache dieser Konstanten benutzt.

Beispielsweise ist (ich schreib' mal ein w für die Konstante)

 

g(-w)=sin(-w)+cos(-w) = -0,372

g(-3/4 w) = sin(-3/4 w) + cos(-3/4 w) = 0,537

...

 

Damit folgt für die Wertetabelle

 

x -w -3/4w ...
f(x) -0,372 0,537 ...

 

und rechts geht's halt so lange weiter bis du bei 2w ankommst. Der x-Wert -2w ist nicht gefragt und der Funktionswert dort ist nicht 1, sondern etwa 1,36.

 

Was hast du denn bei c) versucht? Kannst du mir das irgendwie zeigen? Dann könnte ich dir bestimmt sagen, was da schief läuft.

 

Auch hier übrigens sorry für die späte Antwort, war das Wochenende über unterwegs ;)

Probolobo  12.07.2021
 #6
avatar+46 
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Guten Morgen! :)
Also generell verstehe ich die Wertetabelle einfach null weil ich das so nie vernünftig hatte ausser halt das man die Werte vom Graphen ablesen sollte und diese in eine Tabelle einsetzen sollte. So wie du es mir gezeigt hast, verstehe ich es einfach nicht, auch wie man dann von den -3/4 hoch geht und weiter bis 2 rechnet und wie du durch diese Formeln auf die Ergebnisse kommst weil ich das einfach nie hatte ausser eine halbe Stunde Matheunterricht das mir nichts gebracht hat.

Leider kann ich hier irgendwie nichts hochladen aber ich habe deine Formel benutzt und habe dort das 'k' eingesetzt aber ich verstehe es halt einfach nicht weil ich diese Formel (genauso wie asinus seine Formel) noch nie in meinem Leben gesehen habe.

Und sorry das ich erneut so spät antworte aber ich habe mir gestern so die Ohren vollgeschlagen mit diesem Thema das ich wütend und genervt einfach alles hingeschmissen habe und mir sogar dabei gesagt habe das ich meine Hausaufgaben einfach so abgebe und eine 6 kassiere weil ich es einfach nicht verstehe und null auf die Ergebnisse komme.

Zahlennoob  13.07.2021
 #7
avatar+2535 
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Das mit der Wertetabelle und dem Graphen funktioniert eigentlich eher andersrum:

Du setzt die vorgegebenen x-Werte (hier -1w, -3/4w, -2/4w, -1/4w, 0, 1/4w, ... , 7/4w, 8/4w=2w) in die Funktion ein, um die zugehörigen y-Werte zu finden. 

Wie schon erwähnt ist zB.

g(-w)=sin(-w)+cos(-w) = -0,372

 

Also trage ich in der Wertetabelle unter dem x-Wert -w den y-Wert -0,372 ein. Das sagt uns auch: Der Punkt (-w | -0,372) liegt auf der Funktion.

So geht man mit jedem der vorgegebenen x-Werte vor & fertig ist die Wertetabelle.

 

In der Regel nutzt man die Wertetabelle, um den Funktionsgraphen zu erstellen, nicht andersrum: Wenn die Tabelle so erstellt wird, wie oben beschrieben, hat man ja einige Punkte, die auf der Funktion liegen, und kann die Funktion skizzieren, indem man die Punkte verbindet.

 

Nochmal zu den x-Werten: Der Bereich [-w ; 2w] geht ja von -w bis 2w, daher ist der kleinste x-Wert, den wir betrachten, -w. Der Rest ergibt sich dann, indem man die Schrittweite immer wieder addiert:

1. x-Wert: -w

2. x-Wert: -w+w/4 = -3/4w

3. x-Wert: -3/4w +w/4 = -2/4w

4. x-Wert: -2/4w + w/4 = -1/4w

5. x-Wert: -1/4w + w/4 = 0

6. x-Wert: 0 + w/4 = 1/4w

usw.

 

Auch nochmal zur c):

Die Formel \(x_k = \frac{-\pi}{4} + k \cdot \pi\) für die Nullstellen habe ich in meiner ersten Antwort hergeleitet - wenn du mir sagen kannst, welche Stelle noch unverständlich ist, geh' ich gern noch mehr darauf ein.

 

Ich fass' schonmal das Vorgehen zusammen: 

Zuerst habe ich eine Nullstelle der Funktion gesucht, indem ich die sog. Komplementbeziehung zwischen Sinus & Cosinus benutzt, damit zweimal die gleiche Winkelfunktion vorkommt, und habe dann ausgenutzt, dass mir die Form der Cosinusfunktion bekannt ist. So kam ich zur ersten Nullstelle x=-Pi/4 .

 

Dann nutze ich aus, dass die Funktion periodisch ist: Verändert man bei sin(x) oder cos(x) den x-Wert um Pi, dann ändert das nur das Vorzeichen (Supplementbeziehung!), daher ändert sich auch bei g(x) nur das Vorzeichen, wenn man den x-Wert um Pi erhöht oder senkt. Da bei Funktionswert 0 die Vorzeichenänderung nichts bewirkt, sagt uns das: Haben wir schon eine Nullstelle z, so ist z+Pi auch eine, und daher auch z+2Pi, und daher auch z+3Pi usw. - das gleiche noch mit Minus und wir haben die oben genannte Formel.

 

 

Wenn du mit Sinus- und Cosinus-Funktionen noch nicht viel Erfahrung hast, ist das schon eine schwierige Beispielfunktion. Dass die Wertetabelle mit Vielfachen dieser Konstanten (siehe asinus' Antwort: "Lemniskatische Konstante w = 2,6220575542...") erstellt werden soll ist ziemlich ungewöhnlich, davon muss man sich aber nicht beeindrucken lassen. In jedem Fall bist du gern eingeladen, weiter Fragen zu stellen - es ist schon etwas tricky, aber mit ein wenig Geduld kannst du das bestimmt schaffen!

Probolobo  13.07.2021
bearbeitet von Probolobo  13.07.2021
 #8
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Vielen Dank, das mit der Tabelle habe ich schon mal verstanden! Allerdings kommt bei mir durch die Formel g(-w)=sin(-w)+cos(-w) bei jetzt bespielsweise dem x-Wert 0,982 raus anstatt deine -0,372 und wenn ich auf dem Taschenrechner mit sinh und cosh arbeite, ist mein Ergebnis fast in der Nähe von dir, nämlich 0,367.
Ich komme nicht auf deine Ausrechnung.
Auch bei der zweiten mit deinem Ergebnis von 0,537 bin ich bei meinem Ergebnis 0,472.

Mit c) befasse ich mich erst einmal noch nicht, werde dir aber sicherlich weitere fragen stellen sobald ich dazu komme :)

Zahlennoob  13.07.2021
bearbeitet von Zahlennoob  13.07.2021
 #9
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Kann's sein dass dein Taschenrechner auf Gradmaß (Deg) eingestellt ist statt Bogenmaß (Rad)?

Probolobo  13.07.2021
 #10
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Nein, habe es auf RAD eingestellt bevor ich diesen benutzt habe

Zahlennoob  13.07.2021
 #11
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Benutzt du für die Konstante w auch den Wert 2,66... von asinus? Ich hab den Wert etwas gerundet, das sollte aber am Ergebnis eigentlich nichts ändern.

Kann auch sein dass ich mich einfach vertippt habe.

Probolobo  13.07.2021
 #12
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Also ich habe jetzt ein bisschen rumgespielt und habe verschiedene Arten deiner Formel benutzt um einfach mal zu schauen ob ich auf dein Ergebnis komme und das ist rausgekommen:
 

g(-w)=sin(-1)+cos(-1)= -0,301
g(-w)=sinh(-1)+cosh(-1)= 0,367
g(-2,66)= sin(-1)+cos(-1)= -0,638

g(-2,66)=sinh(-1)+cosh(-1)=-0,595
g(-1)= sin(-2,66)+cos(-2,66)=1,349

g(-1)= sinh(-2,66)+cosh(-2,66)=0,069

Ich habe sowohl deine aufgerundete (2,66) als auch die von asinus (2,62) ausprobiert, alle geben mir nicht das Ergebnis was du raus hast..

Ich glaube ich bin zu blöd fürs Abitur und sollte abbrechen sad

Zahlennoob  13.07.2021
bearbeitet von Zahlennoob  13.07.2021
 #13
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An dieser Stelle ein kleiner Disclaimer - scheinbar bin ich langsam zu blöd für meinen eigenen Taschenrechner :D

 

Wir setzen für die Wertetabelle nur Werte für x in die Funktion ein. Mit -w geht's los, dafür nehmen wir den gerundeten Wert der Konstante, also -2,62 (bei den 2,66 hab ich mich wohl auch vertippt, sorry!)

 

Es ist g(-w) = g(-2,62) = sin(-2,62)+cos(-2,62) = -1,365

Ich beton' hier mal: Das ist nicht g(-1), denn wir haben nicht -1 für x eingesetzt, sondern -2,62=-w !

 

Somit steht in der ersten Spalte der Wertetabelle der x-Wert -w und der y-Wert -1,365.

 

Dann geht's weiter mit dem zweiten x-Wert, für den wir einen Schritt nach rechts auf der x-Achse gehen: -w + w/4 = -3/4w = -3/4 * 2,62 = -1,965

Wir berechnen g(-3/4w) = g(-1,965) = sin(-1,965)+cos(-1,965) = -1,307

Es ergib sich die nächste Spalte der Wertetabelle mit dem x-Wert -3/4w und dem y-Wert -1,307

 

Das sieht als Tabelle also so aus:

x -w -3/4w ...
g(x) -1,365 -1,307 ...

 

Übrigens sind sinh und cosh hier völlig fehl am Platz, in der Funktion g kommen schließlich nur sin und cos vor. Auch sonst ist das, was du aufgeschrieben hast, etwas kritisch - wir wollen für die Wertetabelle eigentlich nur "g(x) = sin(x) + cos(x)" aus der Angabe abschreiben, nur dass statt x 'ne Zahl drinsteht. Und für die Zahlen nehmen wir halt Vielfache von w.

Probolobo  13.07.2021
 #14
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Dann wäre also jetzt bei 2/4w das Ergebnis -1,31 und das rechne ich dann weiter mit der Formel zum Ergebnis -0,708?


Also haben die anderen Ergebnisse von dir von vorher gar nichts mehr damit zu tun?

Zahlennoob  13.07.2021
bearbeitet von Zahlennoob  13.07.2021
bearbeitet von Zahlennoob  13.07.2021
 #15
avatar+2535 
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Naja die x-Wert-Berechnung passt schon^^

Der Wert -0,708 ist in der Tat der nächste, also g(-2/4w) dann - und so geht's weiter bis zu g(2w)

Probolobo  13.07.2021
 #16
avatar+46 
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Okay, vielen lieben Dank! :)

Ich melde mich nochmal wenn ich noch Hilfe bei c) brauche und deine vorherige Erklärung dafür nicht verstehe, wenn das in Ordnung ist?

Zahlennoob  14.07.2021
 #17
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Also, ich habe jetzt mal deine Formel für c) benutzt. \(x\kappa=-\varpi/4 +k *\varpi \) und kannst du mir sagen was für ganze Zahlen ich da einsetzen soll?

Da du ganze Zahlen gesagt hast, habe ich für k=1 genommen und es kam 2,356 raus. Ich glaube ich habe es falsch gemacht o.O

Zahlennoob  14.07.2021
 #18
avatar+2535 
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In meiner Formel für c) kam die Konstante w gar nicht mehr vor. Die hat auch für die Nullstellen und eigentlich allgemein für die Funktion keine besondere Bedeutung, deswegen ist's auch so komisch, dass die in der Wertetabelle vorkommt.

 

An dem k kannst du so lange "herumspielen", bis du aus dem Bereich, in dem du Nullstellen suchst, "rausrutscht". Ich mach's mal für die linke Grenze des Bereichs vor:

Es geht ja nach wie vor um den Bereich [-w ; 2w], also etwa [-2,62 ; 5,24].

Die Nullstellen-Formel war

\(x_k = \frac{-\pi}{4} + k \cdot \pi\) 

für ganze Zahlen k. Das erste wähle ich quasi beliebig, zB. k=0:

\(x_0 = \frac{-\pi}{4} + 0 \cdot \pi = \frac{-\pi}{4} \approx -0,785\)   - das ist im Bereich enthalten, passt!

Nun geht's zunächst nach links weiter mit k=-1:

\(x_{-1} = \frac{-\pi}{4} + (-1) \cdot \pi = \frac{-5}{4}\pi \approx -3,927\)

Das ist schon nicht mehr im Bereich enthalten und daher für die c) schon irrelevant, die kleinste Nullstelle ist also x0. Wäre x-1 noch im Bereich enthalten, würde ich mit k=-2 weitermachen, und dann mit k=-3 usw, bis irgendwann eine Zahl herauskommt, die nicht im Bereich ist.

Das gleiche passiert jetzt noch nach oben: 

Mit k=1, k=2 etc. schaust du nach, welche Werte die Formel liefert. Sobald das Ergebnis nicht mehr im Bereich liegt, bist du fertig & alle Zahlen, die du vor der letzten gefunden hast, sind Nullstellen von g, die im gegebenen Bereich liegen.

 

Wäre das Ergebnis mit dem ersten, relativ frei gewählten k nicht im Bereich, würde man so lange weitersuchen, bis man im gegebenen Bereich 'rauskommt.

 

Kurz&Knapp: Was für ganze Zahlen: Fang mit irgendeiner Zahl an, sodass das Ergebnis der Formel im vorgegebenen Bereich liegt. Verändere dann k schrittweise nach oben & nach unten, bis du aus dem Bereich "rauskommst". So erhältst du alle Nullstellen deiner Funktion.

Und natürlich: Ja, klar, frag' gern nochmal nach!

Die Frage hier wird wahrscheinlich bald gesperrt (passiert immer nach ein paar Tagen, liegt nicht an dir oder mir), stell' dann gern deine ergänzenden Fragen als neue Frage.

Probolobo  14.07.2021

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