(i) Seien f : Rn → Rm und g : Rm → Rk lineare Abbilldungen. Zeigen Sie, dass g ◦ f eine lineare Abbildung ist.
(ii) Betrachten Sie die Projektion projG : R2 → R2 auf eine Gerade G. Folgern Sie, dass proj2G := projG ◦ projG eine lineare Abbildung ist, und zeigen Sie, dass proj2G = projG gilt.
(iii) Für α ∈ R betrachten wir die Drehmatrix Dα ∈ M2,2(R), die durch Dα = \(\begin{pmatrix} cos α- sinα \\ sinα;cosα \end{pmatrix}\) definiert ist. Zeigen Sie, dass für ¨ α, β ∈ R die Gleichungen DαDβ = Dα+β = DβDα erfüllt sind.
Hinweis: Verwenden Sie die Additionstheoreme fur die Winkelfunktionen.
Kannmir jemand hierbei helfen das wäre nett
+3976 Zu (i):
Eine Abbildung ist linear, wenn für eine Zahl Z gilt f(v+Zw)=f(v)+Zf(w). Es soll gezeigt werden: wenn das für g & f klappt, dann auch für g◦f.
Betrachte dafür also (g◦f)(v+Zw) = g( f(v+Zw)) und benutze zuerst, dass dieses "auseinanderziehen" für f klappt, dann, dass es auch für g klappt.
Zu (ii):
Was wisst ihr denn schon über Projektionen? Wenn bekannt ist, dass sie linear sind, dann ist klar, dass auch die doppelte Ausführung einer Projektion linear ist, weil wir ja (i) haben.
Der letzte Teil, also proj2G = projG ist klar, wenn man sich nochmal vor Augen führt, was eine Projektion eigentlich tut: Sie bildet alles auf die Gerade ab, was da noch nicht ist - mit Punkten auf der Geraden macht sie nichts, denn die sind ja schon auf der Geraden. Es ist also projG(v) auf der Geraden für alle v. Daher ist projG(projG(v)) = projG(v) für alle v.
Zu (iii):
Da hab ich dem Hinweis nicht viel hinzuzufügen: Du findest DαDβ & DβDα , indem du die Matrizen miteinander multiplizierst. Dabei kommt dann jeweils eine 2x2-Matrix heraus, die an jeder Stelle irgendwelche Summen von Produkten von sinus & cosinus von alpha & beta hat. Die Matrix Dα+β bekommst du, indem du einfach für alpha in die Defintion alpha+beta einsetzt. Die Additionstheoreme sollten nun genau eintragsweise Gleichheit liefern.
Wenn's noch irgendwo Fragen gibt oder du deine Ergebnisse kontrollieren lassen willst frag' gern nochmal nach!
