(i) Geben Sie alle Häufungspunkte der Folgen (an)n∈N und (bn)n∈N an.
a) \(a_n =\frac{n-(-1)^n}{4+(-1)^nn}\) b) \(b_n =n^2\frac{n!}{(n+1)!}\)
(ii) Begrunden Sie warum (an)n∈N divergiert
(iii) ) Betrachten Sie die Folge (an)n∈N mit an = n und entscheiden Sie, welche der Folgen (wn)n∈N, (xn)n∈N, (yn)n∈N, (zn)n∈N eine Teilfolge von (an)n∈N ist.
(wn)n∈N = (0, 2, 4, 6, 8, . . .), (xn)n∈N = (1, 3, 5, 7, 9, . . .), (yn)n∈N = (n 2 )n∈N, (zn)n∈N = (1, 3, 2, 5, 7, 6, 9, 11, 10, . . .)
Hallo wäre jemand so nett mir bei dieser Aufgabe behilflich zu sein
+3976 (i)
Ein Häufungspunkt einer Folge ist ein Wert, zu dem es eine Teilfolge gibt, die gegen diesen Wert konvergiert.
Die a-Folge hat zwei Häufungspunkte. Einer der Häufungspunkte der a-Folge ist 1 - warum? Welcher Punkt muss dann der zweite Häufungspunkt sein?
In der b-Folge kannst du beim Bruch noch kürzen. Wie sieht der vereinfachte Term aus? Was kannst du nach dem Kürzen über die Häufungspunkte sagen?
(ii)
Der Grund dafür steckt schon in (i). Siehst du, was gemeint ist?
(iii)
Eine Teilfolge "sucht sich Folgenglieder der gegebenen Folge aus", besteht also stets aus Folgegliedern der gegebenen Folge. Außerdem verändert sie die Reihenfolge nicht, d.h. es kann nicht vorkommen, dass ein Folgenglied a, das in der Ursprungs-Folge vor dem Folgenglied b kommt, in der Teilfolge nach dem Folgenglied b kommt. Kannst du damit schon Vermutungen anstellen, welche der gegebenen Folgen wohl Teilfolgen der a-Folge sind?
tut mir leid ich habe Probleme beim kürzen wäre bei b) der dann \(\frac{n^2}{n+1}?\)
+3976 Da musst du dich nicht entschuldigen, alles gut. Der gekürzte und zusammengefasste Term ist \(b_n=\frac{n^2}{n+1}\), genau.
+3976 Naja fast - wo kommt denn das Minus bei dir her? Jeder Term ist doch positiv - der Grenzwert ist daher unendlich. Was folgt dann für die Häufungspunkte der b-Folge?
Moment vielleicht doch, also wenn b_n gegen \(-∞\) konvergiert ist der Häufungspunkt doch auch \(-∞\) oder?
+3976 Nicht wirklich: Ein Häufungspunkt ist normalerweise immer eine Zahl. Das ist durch die Definition klar: Ein Wert h ist Häufungspunkt der Folge, wenn es eine Teilfolge gibt, die gegen h konvergiert. Ist h unendlich, so würde eine Folge, die gegen h geht, aber divergieren.
Man nennt unendlich und -unendlich ab&zu "uneigentliche Häufungspunkte", wenn es eine passende Teilfolge gibt, als ganz normaler "Häufungspunkt" werden sie eigentlich nie betrachtet.
Man kann aufgrund der Divergenz der b-Folge eher sagen: Es gibt keinen Häufungspunkt!
Wäre der Grenzwert jetzt nicht gerade unendlich, sondern irgendeine Zahl, hättest du aber Recht: Der Grenzwert ist immer auch Häufgunspunkt der Folge.
