Hyperbel

Hier ist erst mal der Graph:

Darf ich mal fragen wo diese sache  zur Anwendung kommt ?

Das kommt aus dem Bereich der Kegelschnitte. Je nachdem, wie man einen Doppelkegel "durchschneidet", entsteht entweder ein Kreis, eine Parabel,

eine Ellispse oder eine Hyperbel.

https://learnattack.de/mathe/kegelschnitte

Die Asymptoten einer Hyperbel sind y = 2x - 3 und y = 17 - 2x.

Die Hyperbel durchläuft den Punkt  P( 4 ; 7 ).

Finden Sie den Abstand zwischen den Brennpunkten der Hyperbel.

Formel der Hyperbel:

$\small{ \begin{array}{|l|rcll|} \hline 1. \text{ Asymptote} & 2x - 3 &=& y \\ & 2x - 3-y &=& 0 \\\\ \hline 2. \text{ Asymptote} & 17 - 2x &=& y \\ & 17 - 2x-y &=& 0 \\\\ \hline \text{Hyperbel: } & (2x - 3-y)(17 - 2x-y) + c &=& 0 \\\\ P(x=4,y=7) & (2*4 - 3-7)(17 - 2*4-7)+c &=& 0 \\ & (-2)(2)+c &=& 0 \\ & c &=& 4 \\\\ \text{Hyperbel: } &\mathbf{ (2x - 3-y)(17 - 2x-y) + 4} &\mathbf{=}& \mathbf{0} \\\\ & (2x - 3-y)(17 - 2x-y) + 4 & = & 0 \\ & \Big((2x-y)-3\Big)\Big(17-(2x+y)\Big) + 4 & = & 0 \\ & 17(2x-y)-(2x-y)(2x+y)-3*17+3(2x+y) + 4 & = & 0 \\ & 34x-17y-(4x^2-y^2)-51+6x+3y + 4 & = & 0 \\ & -4x^2+40x+y^2-14y &=& 47 \quad | \quad \cdot (-1) \\ & 4x^2-40x-y^2+14y &=& -47 \\ & 4\left( x^2-10x \right) - (y^2-14y) &=& -47 \\ & 4\left( (x-5)^2 -25 \right) - \left( (y-7)^2-49 \right) &=& -47 \\ & 4 (x-5)^2 - (y-7)^2 &=&100-49 -47 \\ & 4 (x-5)^2 - (y-7)^2 &=& 4 \quad | \quad :4 \\\\ & \mathbf{\dfrac{(x-5)^2}{1^2} - \dfrac{(y-7)^2}{2^2}} &\mathbf{=}& \mathbf{1} \\\\ & \boxed{\text{Formel Hyperbel:} \dfrac{ (x-x_0)^2 }{a^2}- \dfrac{ (x-y_0)^2 }{b^2} = 1 } \\ & a^2 &=& 1^2 \\ & \mathbf{a}& \mathbf{=}& \mathbf{1} \\\\ & b^2 &=& 2^2 \\ & \mathbf{b}& \mathbf{=}& \mathbf{2} \\ \hline \end{array} }$

$\begin{array}{|l|rcll|} \hline \text{Brennpunkt}_1: & F_1(x_0+e,y_0) \\ \text{Brennpunkt}_2: & F_2(x_0-e,y_0) \\ \hline \text{Brennpunkte Abstand}: & && x_0+e-(x_0-e) \\ & &=& x_0+e-x_0+e \\ & &=& 2e \quad | \quad e= \sqrt{a^2+b^2} \\ & &=& 2 \sqrt{a^2+b^2} \quad | \quad a^2=1,\quad b^2= 4 \\ & &=& 2 \sqrt{1+4} \\ & &\mathbf{=}& \mathbf{2\sqrt{5} } \\ \hline \end{array}$

Der Abstand zwischen den Brennpunkten der Hyperbel beträgt $\mathbf{2\sqrt{5} }$