Hilfe, der LIMES!

lim n→∞{(1− 3/n)^3n +3*n'te√3n}

$\lim \limits_{x\to 0} { \Big( \left( 1- \frac{3}{n} \right)^{3n} +3 \cdot \sqrt[n]{3n} \Big) }= \ ?$

$\begin{array}{|rcll|} \hline && \lim \limits_{x\to 0} { \Big( \left( 1- \frac{3}{n} \right)^{3n} +3 \cdot \sqrt[n]{3n} \Big) } \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} {\Big( \left( 1- \frac{3}{n} \right)^{3n} \Big) } + \lim \limits_{x\to 0} {\Big( 3 \cdot \sqrt[n]{3n} \Big) } \\ \hline \end{array}$

$y=\lim \limits_{x\to 0} {\Big( \left( 1- \frac{3}{n} \right)^{3n} \Big) }= \ ?$

$\begin{array}{|rcll|} \hline \ln(y) &=& \ln\Big( \lim \limits_{x\to 0} \Big( \left( 1- \frac{3}{n} \right)^{3n} \Big) \Big) \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \Big( \ln \Big( \left( 1- \frac{3}{n} \right)^{3n} \Big) \Big) \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \Big( 3n\ln \left( 1- \frac{3}{n} \right) \Big) \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \Big( \frac{3\ln \left( 1- \frac{3}{n} \right)} {n^{-1}} \Big) \\\\ && \text{Regel von de l’Hospital anwenden} \\ && \text{Die 1. Ableitung von } 3\cdot \ln(1-3\cdot n^{-1}) \text{ lautet } 3 \cdot \frac{ [(-3)(-1)\cdot n^{-2} ] } {1-\frac{3}{n} } \\\\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \Big( \frac{3 \cdot \frac{ [(-3)(-1)\cdot n^{-2} ] } {1-\frac{3}{n} } } {(-1)\cdot n^{-2}} \Big) \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \Big( \frac{ 3 \cdot[(-3)(-1)\cdot n^{-2} ] } { (1-\frac{3}{n})(-1)\cdot n^{-2} } \Big) \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \Big( \frac{ 3 \cdot(-3)} { (1-\frac{3}{n}) } \Big) \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \Big( \frac{ -9 } { (1-\frac{3}{n}) } \Big) \\ \ln(y) &=& \frac{ -9 } { 1-0 } \\ \ln(y) &=& -9 \\ e^{\ln(y)} = y &=& e^{-9}\\ y &=& \lim \limits_{x\to 0} {\Big( \left( 1- \frac{3}{n} \right)^{3n} \Big) }= e^{-9} \\ \hline \end{array}$

$\lim \limits_{x\to 0} {\Big( 3 \cdot \sqrt[n]{3n} \Big) } = \ ?$

$\begin{array}{|rcll|} \hline && \lim \limits_{x\to 0} {\Big( 3 \cdot \sqrt[n]{3n} \Big) } \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} {\Big( 3 \cdot (3n)^{\frac{1}{n}} \Big) } \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} {\Big( 3 \cdot e^{\ln \left((3n)^{\frac{1}{n}} \right) } \Big) } \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} {\Big( 3 \cdot e^{ \frac{\ln(3n)} {n} } \Big) } \\ &=& 3 \cdot e^{ \lim \limits_{x\to 0} {\Big( \frac{\ln(3n)} {n} } \Big) } \\ && \text{Regel von de l’Hospital anwenden} \\ && \text{Die 1. Ableitung von } \frac{\ln(3n)} {n} \text{ lautet } \frac{ \frac{3}{3n} } {1} = \frac{3}{3n} = \frac{1}{n} \\\\ &=& 3 \cdot e^{ \lim \limits_{x\to 0} {\Big(\frac{1}{n}} \Big) } \\ &=& 3 \cdot e^0 \\ &=& 3 \cdot 1 \\ &=& 3 \\ \lim \limits_{x\to 0} {\Big( 3 \cdot \sqrt[n]{3n} \Big) } &=& 3 \\ \hline \end{array}$

Somit erhalten wir insgesamt:

$\lim \limits_{x\to 0} { \Big( \left( 1- \frac{3}{n} \right)^{3n} +3 \cdot \sqrt[n]{3n} \Big) } = e^{-9} + 3$