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Ich brauche hilfe bei folgender Aufgabe:

 

Die Gesammkosten bei der Produktion von Fernsehgeräten werden beschrieben durch die Funktion mit K

k(x)=0,5x^2-0,5x+37,5 ; x in ME (Mengeneinheiten), K(x) in GE (Gelteinheiten)

Der kosntante Markpreis beträgt 18 GE.

Bestimmen sie die Gewinnfunktion G, die Gewinnzone, die Verlustzone und den maximalen Gewinn.

 

Mein Problem dabei isr, dass ich nicht weiß, wo ich anfangen soll.

 Meine überlegeung war herauszufinden, was die Menge ist und ihre Variablen kosten. Aber das war iregndwie eine Sackgasse. 

 

Kann mit bitte jemand helfen?

 09.03.2021
 #1
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Ich würde sagen der Gewinn ist die Differenz aus dem Ertrag und den Kosten. 

Verkauft man x Fernseher, so nimmt man 18x ein (Marktpreis 18GE pro Stück). Die Kosten haben wir schon. Dann ergibt sich für den Gewinn:

 

G(x) = 18x - (0,5x²-0,5x+37,5) = -0,5x² +18,5x -37,5. 

 

Für die Gewinn- und Verlustzone (was die Bedeutung dieser Begriffe angeht verlasse ich mich jetzt mal auf meine Intuition, hab' das so noch nie gehört) würde ich erstmal die Nullstellen der Gewinnfunktion G berechnen. Das geht hier per Mitternachtsformel:

 

\(x_{1 / 2} = \frac{-18,5 \pm \sqrt{18,5^2-4\cdot (-0,5)\cdot (-37,5)}}{2 \cdot (-0,5)} = \frac{-18,5\pm 16,3}{-1} \\ \Rightarrow x_1 = 34,8 \ \ \ \ x_2 = 2,2\)

 

Bei diesen Produktionsmengen gleichen sich Kosten und Einnahmen genau aus. Unsere Gewinnfunktion ist eine nach unten geöffnete Parabel, das bedeutet sie ist links und rechts von den Nullstellen negativ und zwischendrin positiv. Die Gewinnzone ist also ]2,2 ; 34,8[, die Verlustzone "der Rest", also \([0;2,2[ \cup ]34,8;\infty[\) (Linke Grenze 0, da negative Mengen keinen Sinn ergeben nehme ich mal an?). Für den maximalen Gewinn bestimmen wir den Scheitel unserer Gewinnparabel. Der liegt mittig zwischen den Nullstellen, hat also den x-Wert (2,2+34,8)/2=18,5. Bei dieser Menge ist der Gewinn maximal, wir erhalten den maximalen Gewinn durch einsetzen des x-Werts in die Gewinnfunktion: G(18,5)=133,6GE

 09.03.2021

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