Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js
 
+0  
 
0
592
1
avatar

gib die vollständige induktion an

4n^3 - n ist durch 3 teilbar

 01.11.2020
 #1
avatar+3976 
+2

Der Induktionsanfang ist wie so oft noch einfach;
Für n=1 ist 4n³-n = 4-1 = 3 durch 3 teilbar.

 

Für den Induktionsschritt sei nun 4n³-n durch 3 teilbar für eine natürliche Zahl n (Induktionsvoraussetzung).

Wir betrachten nun 4(n+1)³-(n+1):

 

4(n+1)3(n+1)=4(n3+3n2+3n+1)n1=4n3+12n2+12n+1n1=4n3n+34n2+34n

 

Hier ist nun aufgrund der Induktionsvoraussetzung 4n³-n durch 3 teilbar, 3*4n² und 3*4n sind offenbar vielfache von 3, daher ist der ganze Term als Summe von Vielfachen von 3 durch 3 teilbar.

 01.11.2020

1 Benutzer online