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gib die vollständige induktion an

4n^3 - n ist durch 3 teilbar

 01.11.2020
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Der Induktionsanfang ist wie so oft noch einfach;
Für n=1 ist 4n³-n = 4-1 = 3 durch 3 teilbar.

 

Für den Induktionsschritt sei nun 4n³-n durch 3 teilbar für eine natürliche Zahl n (Induktionsvoraussetzung).

Wir betrachten nun 4(n+1)³-(n+1):

 

\(4(n+1)^3 - (n+1) = \\ 4(n^3 +3n^2 + 3n +1) -n-1 = \\ 4n^3 +12n^2 + 12n +1 -n -1 = \\ 4n^3 -n + 3 \cdot 4n^2 + 3 \cdot 4n\)

 

Hier ist nun aufgrund der Induktionsvoraussetzung 4n³-n durch 3 teilbar, 3*4n² und 3*4n sind offenbar vielfache von 3, daher ist der ganze Term als Summe von Vielfachen von 3 durch 3 teilbar.

 01.11.2020

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