wie berechnet man den Oberfächeninhalt und das volumen eines Zusammengesetzten Körpers?

Wie berechnet man den Oberfächeninhalt und das Volumen eines zusammengesetzten Körpers?

Hallo Gast!

Zusammengesetzte Körper können extrem verschieden aussehen. Die Oberfläche des Berliner Fernsehturms wird anders berechnet als die Oberfläche der Pyramiden von Gizeh. Ähnliches gilt für die Ermittlung der Volumina verschiedener zusammengesetzter Körper.

Beschreibe mir einen konkreten zusammengesetzten Körper, dann kann ich dir am praktischen Beispiel zeigen, wie so etwas berechnet wird.

Ich hoffe, ich höre bald etwas.

Hallo Gast!

Ich nehme an, dass die Grundfläche der Pyramide kongruend zur oberen Fläche des Quaders ist. Also ist die Grundfläche der Pyramide 6cm lang und 3cm breit.. Die Länge der Seitenkanten der Pyramide ist hier nicht von Einfluss. (Wenn 6cm als Länge der Seitenkanten gemeint war, gib Bescheid.)

Das Volumen des zusammengesetzten Körpers V ist die Summe aus dem Volumen des Quaders \(V_1\) und dem Volumen der Pyramide \(V_2\).

\(\color{blue}V=V_1+V_2\\ 1.\ Volumen\ des\ Quaders\\ V_1=Grundfl\ddot ache \times H\ddot ohe=6cm\cdot 3cm\cdot 3cm\\ \color{blue}V_1=54cm^3\)

\(2.\ Volumen\ der\ Pyramide\\ {\color{blue}V_2=\frac{1}{3}\times Grundfl\ddot ache\times H\ddot ohe}\\ V_2=\frac{1}{3}\cdot 6cm\cdot 3cm\cdot 4cm\\ \color{blue}V_2=24cm^3\)

\(V=54cm^3+24cm^3\\ Das Volumen\ des\ zusammengesetzten\ K\ddot orpers\ ist\ \color{blue}V=78cm^3.\)

Bei der Oberfäche des zusammengesetzten Körpers müssen wir beachten, dass sich die Grundfläche der Pyramide und die obere Fläche des Quaders gegenseitig abdecken, diese also nicht zur Gesammtoberfläche gehören.

Die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers O ist die Summe aus der Oberfläche des Quaders \(O_{1\ reduz}\)und der Oberfläche der Pyramide \(O_{2\ reduz}\).

\(O_{1\ reduz}=6cm\cdot 3cm +2\cdot (6cm\cdot 3cm+3cm\cdot 3cm)=18cm^2+54cm^2\\ \color{blue}O_{1\ reduz}=72cm^2\)

Die Oberfläche der Pyramide ohne ihre Grundfläche heißt auch Mantel der Pyramide. Er besteht aus zweimal zwei verschiedenen gleichschenklichen Dreiecken.

1. Die Höhe der Mantelfläche mit der Grundlinie 6:

 \((h_6) ^2=(\frac{3}{2})^2+(h_{pyr})^2\\ {\color{blue}h_6}=\sqrt{\frac{9}{4}+4^2}\color{blue}=4,272cm\\ \)

2. Die Höhe der Mantelfläche mit der Grundlinie 3:

\((h_3) ^2=(\frac{6}{2})^2+(h_{pyr})^2\\ {\color{blue}h_3}=\sqrt{\frac{36}{4}+4^2}\color{blue}=5cm\)

\(\color{blue}O_{2\ reduz}=2 \cdot (\triangle_3+\triangle_6)\\ O_{2\ reduz}=2 \cdot (\frac{3cm}{2}\cdot h_3+\frac{6cm}{2}\cdot h_6]\\ O_{2\ reduz}=2 \cdot (\frac{3cm}{2}\cdot 5cm+\frac{6cm}{2}\cdot 4,272cm)\\ \color{blue}O_{2\ reduz}=40,632cm^2 \)

\(\color{blue}O=O_{1\ reduz}+O_{2\ reduz}\\ O=72cm^2+40,632cm^2\\ Die\ Oberfl\ddot ache\ des\ zusammengesetzten\ K\ddot orpers\ ist\ \color{blue}\color{blue}O=112,632cm^2\)

\(\ddot Uber\ ein\ Danke\ w\ddot urde\ ich\ mich\ freuen.\)

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