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avatar+675 

Hey, hier eine ausgedachte Frage:

 

Man suche Zahlen, wo man hoch sich selbst (^... ) eine Zahl kriegt, bei der man das Produkt dieser Zahl gleich die Zahl kriegt, die man am Anfang sich ausgedacht hat. Angenommen, man definiere so eine Zahl "sonderbar". Wie viele sonderbare Zahlen könntet ihr finden? :)

 03.05.2022
bearbeitet von Straight  03.05.2022
bearbeitet von Straight  03.05.2022
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avatar+3609 
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Eine sonderbare Zahl ist also eine Zahl x, sodass die Quersumme Q(xx) = x ist, korrekt?

Dann ist auf jeden Fall die 1 eine sonderbare Zahl, denn 11=1 und die Quersumme von 1 ist ebenfalls 1. Bis 12 gibt es schonmal keine weiteren sonderbaren Zahlen, und weil die vorkommenden Potenzen immer größer werden (insbesondere immer mehr Stellen haben) würde ich davon ausgehen, dass die 1 als einzige Zahl sonderbar (im obigen Sinne) ist. Wenn du eine weitere solche Zahl findest würde ich mich freuen, wenn du sie uns mitteilst ;)

 03.05.2022
 #2
avatar+675 
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Entschuldigung !!! Ich habe vor ein paar Minuten die Frage bearbeitet! Und du hast wahrscheinlich noch vor der Bearbeitung die Frage gelesen und noch nicht aktualisiert. 

 03.05.2022
 #3
avatar+3609 
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Das ist wohl richtig, ja - was meinst du mit "das Produkt dieser Zahl"? Ein Produkt besteht ja immer aus mindestens zwei Faktoren, aktuell haben wir aber ja nur den Faktor xx für eine Zahl x.

Probolobo  03.05.2022
 #4
avatar+675 
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Ich meinte dieser Ziffern, entschuldigung ! Ich bin ein bisschen durcheinander geraten !

Straight  03.05.2022
 #5
avatar+3609 
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Wir bilden also die Potenz nn einer natürlichen Zahl n und dann das Produkt der Ziffern dieser Potenz und nennen eine Zahl sonderbar, wenn dabei wieder die Zahl selbst herauskommt?

Dann ist wieder 1 eine sonderbare Zahl.

Weitere sonderbare Zahlen könnten auf keinen Fall Primzahlen sein, denn wenn man für eine Primzahl p die Potenz pp bildet, so dürfte diese im Fall einer sonderbaren Zahl nur aus Einsen und einmal der Zahl p bestehen. Wäre p eine mehrstellige Zahl, so könnte p keine Ziffer von pp sein, in Frage kommen also nur einstellige Primzahlen. Bei denen kann man durch probieren herausfinden, dass keine dieser Zahlen sonderbar sind.

Mit dem gleichen Argument, das oben mehrstellige Primzahlen ausschließt, kann man begründen, dass eine sonderbare Zahl in ihrer Primfaktorzerlegung keine mehrstelligen Zahlen haben kann. 

Somit ist gezeigt: Eine sonderbare Zahl (ungleich 1) muss selbst ein Produkt aus einstelligen Primzahlen sein. Sie ist also darstellbar als n=2a*3b*5c*7d.

Ich denke auch mit dieser Definition nicht, dass außer 1 noch andere sonderbare Zahlen existieren. Die (vermutlich!) einzige Lösung ist a=b=c=d=0. 

Probolobo  03.05.2022

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