Lisa spart für ihr erstes Auto. Ihre Bank zahlt 4,5% Zinsen auf ihr Kapital. Sie hat 1800 € gespart. Der Händler möchte jedoch nicht unter 2200 € für das Auto gehen.
Wie lange muss sie warten, bis sie das Geld zusammen hat?
+3976 Wir stellen zunächst eine Funktion auf, die Lisas Guthaben (G) in Abhänigkeit der Zeit t darstellt. Es fehlt noch die Angabe, nach welchem Zeitraum die Bank die Zinsen auszahlt (Monat, Jahr?). In der Funktion ist dann t die Zeit in Auszahl-Zeiträumen (also in Monaten, Jahren zB).
\(G(t) = 1800 \cdot 1,045^t\)
1800 ist dabei das Startguthaben, 1,045=100%+4,5% .
Nun wollen wir wissen, wann das Guthaben 2200 erreicht:
\(2200 = 1800 \cdot 1,045^t \ \ |:1800 \\ \frac{11}{9} = 1,045^t \ \ |lg(.) \\ lg(\frac{11}{9}) = lg(1,045^t) \ \ |lg-Rechenregel \\ lg(\frac{11}{9}) = t \cdot lg(1,045) \ \ |:lg(1,045) \\ \frac{lg(\frac{11}{9})}{lg(1,045)} = t \ \ |Taschenrechner \\ 4,56 = t\)
Würde die Bank täglich einen kleinen Anteil der Zinsen zahlen, so wäre nach 4,56 Zins-Zeiträumen das Geld zusammengespart. Die Bank zahlt aber nur am Ende der Zeiträume aus - nach 4 haben wir noch zu wenig Geld, nach dem fünften Zins-Zeitraum übersteigt Lisas Guthaben dann die Kosten des Autos. (-> t=5 ist dann unsere Lösung).
