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Hallo zusammen!

Kann hier jemand eine Musterlösung für eine (oder sogar beide) Aufgabe mittels Beweis der vollständigen Induktion erstellen?

Möglichst mit vielen Zwischenschritten, da ich insbesondere noch so meine Probleme bei der Umformung habe.

Das grundsätzliche Vorgehen bei der vollst. Ind. ist mir einigermaßen klar.

Es scheitert wie gesagt oft an der Umformung (übe ich bereits mit anderen Auffgaben).

 

 

Ihr würdet mir wahnsinnig damit helfen!

Schonmal vielen vielen Dank!

 15.03.2020
bearbeitet von Gast  15.03.2020
 #1
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(a)
\(n\in \mathbb{N}: \qquad \sum \limits_{k=1}^{n} (k^3-1) = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2-n\)

 

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline \mathbf{n=1}: & \sum \limits_{k=1}^{1} (k^3-1) &=& \left(\dfrac{1(1+1)}{2}\right)^2-1 \\\\ & 1^3-1 &=& \left(\dfrac{1*2}{2}\right)^2-1 \\\\ & 1 -1 &=& \left(1\right)^2-1 \\\\ & 1 -1 &=& 1-1 \ \checkmark \\ \hline \end{array}\)

 

\(\small{ \begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{n+1}: & \sum \limits_{k=1}^{n+1} (k^3-1) &=& \left(\dfrac{(n+1)\Big((n+1)+1\Big)}{2}\right)^2-(n+1) \\\\ & \sum \limits_{k=1}^{n+1} (k^3-1) &=& \left(\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2-(n+1) \\\\ & \sum \limits_{k=1}^{n+1} (k^3-1) &=& \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{2^2} -(n+1) \\\\ & \sum \limits_{k=1}^{n+1} (k^3-1) &=& \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} -(n+1) \\ & && \boxed{\sum \limits_{k=1}^{n+1} (k^3-1)=\sum \limits_{k=1}^{n} (k^3-1) +(n+1)^3-1 } \\ & \sum \limits_{k=1}^{n} (k^3-1) +(n+1)^3-1 &=& \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} -(n+1) \\ & && \boxed{\text{Induktionsannahme:}\\ \sum \limits_{k=1}^{n} (k^3-1) = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2-n} \\ & \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2-n +(n+1)^3-1 &=& \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} -(n+1) \\ & \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2 +(n+1)^3-n-1 &=& \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} -(n+1) \\ & \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2 +(n+1)^3-(n+1) &=& \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} -(n+1) \\ & \dfrac{n^2(n+1)^2}{2^2} +(n+1)^3-(n+1) &=& \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} -(n+1) \\ & \dfrac{n^2(n+1)^2}{4} +(n+1)^2(n+1)-(n+1) &=& \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} -(n+1) \\ & (n+1)^2\left( \dfrac{n^2}{4}+(n+1)\right)-(n+1) &=& \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} -(n+1) \\ & (n+1)^2\left( \dfrac{n^2+4(n+1)}{4}\right)-(n+1) &=& \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} -(n+1) \\ & (n+1)^2\left( \dfrac{n^2+4n+4}{4}\right)-(n+1) &=& \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} -(n+1) \\ & && \boxed{n^2+4n+4 = (n+2)^2 } \\ \\ & \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}-(n+1) &=& \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} -(n+1)\ \checkmark \\ \hline \end{array} }\)

 

laugh

 16.03.2020
 #2
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+1

Vielen vielen Dank @heureka!

Das hilft mir wirklich sehr! smiley

 17.03.2020

31 Benutzer online

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