Hab ein Problem mit einer Formel

Hab ein Problem eine Formel auf die relative Luftfeuchte umzustellen, da ein Logarithmus enthalten ist.

Die Formel lautet:

Taupunkttemperatur =

     (237.3 * log10 (Relative Luftfeuchte) + 237,3 * (Sättigungsdruck/61078))

               / (7.5 -  log10 (Relative Luftfeuchte) - log10 (Sättigungsdruck/61078))

Bei rel.LF \(\varphi\) = 50% und einem Sättigungsdruck von \(p_{sat}\) = 2338 Pascal kommt als Ergebnis eine Taupunkttemperatur von \(t_p\)= 9.3°C raus. Aber ich würde gerne eine Taupunkttemperatur eingeben und das Programm berechnet die dazugehörige Luftfeuchte \(\varphi\).

Hallo Gast!

Wahrscheinlich hast die Formel fehlerhaft abgeschrieben.

Berichtigt muss sie heißen:

\(\large t_p=\frac{237,3\cdot log_{10}(\varphi)+237,3\cdot log_{10}(\frac{p_{sat}}{610,78})}{7,5-log_{10}( \varphi)-log_{10}(\frac{p_{sat}}{610,78})}\)

Dann ergibt sich mit den von dir angegebenen Größen:

\(\large t_p=\frac{237,3\cdot log_{10}(0,50)+237,3\cdot log_{10}(\frac{2338}{610,78})} {7,5-log_{10}( 0,50)-log_{10}(\frac{2338}{610,78})}=9,57079\\ \large \color{blue}t_p=9,571\ (°\ C\ )\)

Umstellen auf \(\varphi\) :

\(\large t_p=\frac{273,3\cdot log_{10}(\varphi)+237,3\cdot log_{10}(\frac{p_{sat}}{610,78})} {7,5-[log_{10}( \varphi)+log_{10}(\frac{p_{sat}}{610,78})]}\\ \large t_p=\frac{273,3\cdot log_{10}(\frac{\varphi \cdot p_{sat}}{610,78})}{7,5-log_{10}( \frac{\varphi \cdot p_{sat}}{610,78} )} \)

\(7,5\cdot t_p-t_p\cdot log_{10}(\frac{\varphi \cdot p_{sat}}{610,78})=273,3\cdot log_{10}(\frac{\varphi \cdot p_{sat}}{610,78})\\ 7,5\cdot t_p=(273,3+t_p)\cdot log_{10}(\frac{\varphi \cdot p_{sat}}{610,78})\\ log_{10}(\frac{\varphi \cdot p_{sat}}{610,78})= \frac{7,5\cdot t_p}{273,3+t_p}\)

\(\frac{\varphi \cdot p_{sat}}{610,78}=10^{\frac{7,5\cdot t_p}{273,3+t_p}}\\ \large \color{blue} \varphi=\frac{610,78}{p_{sat}}\cdot 10^{\frac{7,5\cdot t_p}{273,3+t_p}}\)                

Probe:

\(\large \varphi=\frac{610,78}{p_{sat}}\cdot 10^{\frac{7,5\cdot t_p}{273,3+t_p}}\\ \large 0,5=\frac{610,78}{2338}\cdot 10^{\frac{7,5\cdot 9,57079}{273,3+9,57079}}\\ \large 0,5\approx 0,469\)

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Hab ein Problem eine Formel auf die relative Luftfeuchte umzustellen, da ein Logarithmus enthalten ist.
Es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.

237,3 * log10 (Relative Luftfeuchte) + 237,3 * log10(Sättigungsdruck/610,78)
============================================================== = Taupunkttemperatur
7,5 -  log10 (Relative Luftfeuchte) - log10 (Sättigungsdruck/610,78)

siehe: https://www.wetterochs.de/wetter/feuchte.html

Bei 50% rel.LF und einem Sättigungsdruck von 2338 Pascal kommt als Ergebnis eine Taupunkttemperatur von 9.3°C raus.
Aber ich würde gerne eine Taupunkttemperatur eingeben und das Programm berechnet die dazugehörige Luftfeuchte.

Bezeichnungen:
r   = relative Luftfeuchte
T_D  = Taupunkttemperatur in °C
SDD = Sättigungsdampfdruck in Pa
a   = 7.5
b   = 237,3

\(\begin{array}{|rcll|} \hline T_D &=& \dfrac { b * \log_{10}(r) + b * \log_{10} \left( \frac{SDD}{610,78} \right) } { a - \log_{10}(r) - \log_{10} \left( \frac{SDD}{610,78} \right) } \\ \hline \end{array}\)

Mit den von dir angegebenen Größen ergibt sich:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline T_D &=& \dfrac { 237,3 * \log_{10}(0,5) + 237,3 * \log_{10} \left( \frac{2338}{610,78} \right) } { 7,5 - \log_{10}(0,5) - \log_{10} \left( \frac{2338}{610,78} \right) } \\\\ T_D &=& \dfrac { -237,3 * 0,30102999566 + 237,3 * 0,58295969919 } { 7,5 +0,30102999566 - 0,58295969919 } \\\\ T_D &=& \dfrac {66,9019186462 } {7,21807029648 } \\\\ T_D &=& 9,26867097413 °C \\ \mathbf{T_D} &\mathbf{=}& \mathbf{9,3 °C} \\ \hline \end{array}\)

Formelumstellung nach r (relative Luftfeuchte):

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{T_D} & \mathbf{=} & \mathbf{ \dfrac { b * \log_{10}(r) + b * \log_{10} \left( \frac{SDD}{610,78} \right) } { a - \log_{10}(r) - \log_{10} \left( \frac{SDD}{610,78} \right) } } \\\\ T_D \left( a - \log_{10}(r) - \log_{10} \left( \frac{SDD}{610,78} \right) \right) &=& b * \log_{10}(r) + b * \log_{10} \left( \frac{SDD}{610,78} \right) \\\\ T_D* a - T_D*\log_{10}(r) - T_D*\log_{10} \left( \frac{SDD}{610,78} \right) &=& b * \log_{10}(r) + b * \log_{10} \left( \frac{SDD}{610,78} \right) \\\\ b * \log_{10}(r) + T_D*\log_{10}(r) &=& T_D* a - T_D*\log_{10} \left( \frac{SDD}{610,78} \right)\\ && - b * \log_{10} \left( \frac{SDD}{610,78} \right) \\\\ (T_D+b)* \log_{10}(r) &=& T_D* a - (T_D+b)* \log_{10} \left( \frac{SDD}{610,78} \right) \\\\ \log_{10}(r) &=&\frac{T_D*a}{T_D+b} - \log_{10} \left( \frac{SDD}{610,78} \right) \\\\ r &=& 10^{\left(\frac{T_D*a}{T_D+b} - \log_{10} \left( \frac{SDD}{610,78} \right) \right)} \\\\ r &=& 10^{\left(\frac{7,5*T_D}{237,3+T_D} - \log_{10} \left( \frac{SDD}{610,78} \right) \right)} \\\\ r &=& \frac{610,78}{SDD}*10^{\left(\frac{7,5*T_D}{237,3+T_D} \right)} \\\\ \mathbf{ \text{relative Luftfeuchte} }& \mathbf{=} & \mathbf{ \left( \frac{610,78}{\text{(Sättigungsdruck)}} \right) *10^{\left(\frac{7,5*\text{(Taupunkttemperatur)} }{237,3+\text{(Taupunkttemperatur)}} \right)} } \\ \hline \end{array}\)

Die umgestellte Formel lautet:

\(\large{\mathbf{ \text{relative Luftfeuchte} } \mathbf{=} \mathbf{\left( \frac{610,78}{\text{(Sättigungsdruck)}} \right)* 10^{\left(\frac{7,5*\text{(Taupunkttemperatur)} }{237,3+\text{(Taupunkttemperatur)}} \right)} } }\)