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Eine GRF 3. Grades geht durch P(6|4)und hat eine Nullstelle bei x=4. Die Steigung der Tangente in dieser Nullstelle beträgt -1. Die Kurve schneidet die y-Achse bei 4.Rechenwg bitte.

 10.06.2015

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 #1
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Eine GRF 3. Grades geht durch P(6|4)und hat eine Nullstelle bei x=4. Die Steigung der Tangente in dieser Nullstelle beträgt -1. Die Kurve schneidet die y-Achse bei 4.

 

$$\small{\text{$
\begin{array}{lrcl}
\rm{GRF~3.~ ~Grades ~~}&y&=&ax^3+bx^2+cx+d\\\\
\hline&\\
(1)~y(6)=4:&y(6)=4&=& 6^3a+6^2b+6c+d\\\\
(2)~y(4)=0:&y(4)=0&=& 4^3a+4^2b+4c+d\\\\
(3)~y'(4)=-1:&y'(x)&=& 3ax^2+2bx+c\\\\
&y'(4)=-1&=& 3a4^2+2b4+c\\\\
(4)~y(0)=4:&y(0)=4&=& 0a+0b+0c+d\\\\
& \mathbf{d}&\mathbf{=}& \mathbf{4}\\\\
\hline &\\
(1): &6^3a+6^2b+6c+4 &=& 4\\\\
(2): &4^3a+4^2b+4c+4 &=& 0\\\\
(3): &3a4^2+2b4+c &=& -1\\\\
\hline
&\\
(1):& 216a+36b+6c &=& 0 \\\\
(2):& 64a+16b+4c &=& -4 \\\\
(3):& 48a+ 8b+1c &=& -1 \\\\
\hline
&\\
\rm{Nenner~Determinante~~} D=
\begin{vmatrix} 216 & 36 & 6 \\64 & 16 & 4 \\48 & 8 & 1\end{vmatrix} = -384&\\
a = \frac{ \begin{vmatrix} 0 & 36 & 6 \\-4 & 16 & 4 \\-1 & 8 & 1\end{vmatrix} }{D}= \dfrac{-96}{-384}=0,25 \\&\\
b = \frac{ \begin{vmatrix} 216 & 0 & 6 \\64 & -4 & 4 \\48 & -1 & 1\end{vmatrix} }{D}= \dfrac{768}{-384}=-2 \\&\\
c = \frac{ \begin{vmatrix} 216 & 36 & 0 \\64 & 16 & -4 \\48 & 8 & -1\end{vmatrix} }{D}= \dfrac{-1152}{-384}=3 \\&\\\\
\hline&\\
\rm{GRF~3.~ ~Grades ~~}&\mathbf{y}&\mathbf{=}&\mathbf{0,25x^3-2x^2+3x+4}\\\\
\hline&\\
\end{array}$}}$$

 siehe Cramersche Regel - Lineare Gleichungssysteme lösen: https://www.youtube.com/watch?v=fAyeoazTbM0

 11.06.2015
 #1
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Eine GRF 3. Grades geht durch P(6|4)und hat eine Nullstelle bei x=4. Die Steigung der Tangente in dieser Nullstelle beträgt -1. Die Kurve schneidet die y-Achse bei 4.

 

$$\small{\text{$
\begin{array}{lrcl}
\rm{GRF~3.~ ~Grades ~~}&y&=&ax^3+bx^2+cx+d\\\\
\hline&\\
(1)~y(6)=4:&y(6)=4&=& 6^3a+6^2b+6c+d\\\\
(2)~y(4)=0:&y(4)=0&=& 4^3a+4^2b+4c+d\\\\
(3)~y'(4)=-1:&y'(x)&=& 3ax^2+2bx+c\\\\
&y'(4)=-1&=& 3a4^2+2b4+c\\\\
(4)~y(0)=4:&y(0)=4&=& 0a+0b+0c+d\\\\
& \mathbf{d}&\mathbf{=}& \mathbf{4}\\\\
\hline &\\
(1): &6^3a+6^2b+6c+4 &=& 4\\\\
(2): &4^3a+4^2b+4c+4 &=& 0\\\\
(3): &3a4^2+2b4+c &=& -1\\\\
\hline
&\\
(1):& 216a+36b+6c &=& 0 \\\\
(2):& 64a+16b+4c &=& -4 \\\\
(3):& 48a+ 8b+1c &=& -1 \\\\
\hline
&\\
\rm{Nenner~Determinante~~} D=
\begin{vmatrix} 216 & 36 & 6 \\64 & 16 & 4 \\48 & 8 & 1\end{vmatrix} = -384&\\
a = \frac{ \begin{vmatrix} 0 & 36 & 6 \\-4 & 16 & 4 \\-1 & 8 & 1\end{vmatrix} }{D}= \dfrac{-96}{-384}=0,25 \\&\\
b = \frac{ \begin{vmatrix} 216 & 0 & 6 \\64 & -4 & 4 \\48 & -1 & 1\end{vmatrix} }{D}= \dfrac{768}{-384}=-2 \\&\\
c = \frac{ \begin{vmatrix} 216 & 36 & 0 \\64 & 16 & -4 \\48 & 8 & -1\end{vmatrix} }{D}= \dfrac{-1152}{-384}=3 \\&\\\\
\hline&\\
\rm{GRF~3.~ ~Grades ~~}&\mathbf{y}&\mathbf{=}&\mathbf{0,25x^3-2x^2+3x+4}\\\\
\hline&\\
\end{array}$}}$$

 siehe Cramersche Regel - Lineare Gleichungssysteme lösen: https://www.youtube.com/watch?v=fAyeoazTbM0

heureka 11.06.2015
 #2
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Ich habe auch mal mit der Regel von Sarrus (Jägerzaun-Regel) gerechnet. Aber ich muss das ja nicht auch noch schicken, wenn heurekas Rechnung genauso wie meine aussieht. Deshalb habe ich mich auf die Grafik beschränkt. Ich muss gestehen, dass ich diese Regel bisher nicht kannte. Aber ich habe mich schlau gemacht und durch heureka wieder etwas dazu gelernt - danke.

 11.06.2015
 #3
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0

Na bravo,

Omi63.

 13.06.2015

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