\(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1+2x^2}}{4x^2}\) Der Grenzwert ist -0,25, allerdings kann ich das irgendwie nicht zeigen :O
Vielen Dank im Voraus
+26388 Der Grenzwert ist -0,25, allerdings kann ich das irgendwie nicht zeigen :O
\(\lim \limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{1-\sqrt{1+2x^2}}{4x^2}\)
\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \mathbf{ \lim \limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{1-\sqrt{1+2x^2}}{4x^2} } \\\\ &=& \dfrac14 \cdot \lim \limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{1-\sqrt{1+2x^2}}{x^2} \\\\ &=& \dfrac14 \cdot \lim \limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{1-\sqrt{1+2x^2}}{x^2}\cdot \left( \dfrac{1+\sqrt{1+2x^2}}{1+\sqrt{1+2x^2}} \right) \\\\ &=& \dfrac14 \cdot \lim \limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{1-(1+2x^2)}{x^2(1+\sqrt{1+2x^2})} \\\\ &=& \dfrac14 \cdot \lim \limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{1-1-2x^2}{x^2(1+\sqrt{1+2x^2})} \\\\ &=& \dfrac14 \cdot \lim \limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{-2x^2}{x^2(1+\sqrt{1+2x^2})} \\\\ &=& \dfrac14 \cdot \lim \limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{-2}{(1+\sqrt{1+2x^2})} \\\\ &=& -\dfrac14 \cdot \lim \limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{2}{(1+\sqrt{1+2x^2})} \quad | \quad x=0 \\\\ &=& -\dfrac14 \cdot \dfrac{2}{(1+\sqrt{1+0})} \\\\ &=& -\dfrac14 \cdot \dfrac{2}{2} \\\\ &\mathbf{=}& \mathbf{-\dfrac14} \\ \hline \end{array}\)
