Grenzwert berechnen

$$\lim \limits_{n\rightarrow +\infty} {\sqrt{(n^2-n)}-n } =\ ?$$

Wir formen um:

$$=\lim \limits_{n\rightarrow +\infty} {\sqrt{n(n-1)}-n }\\
=\lim \limits_{n\rightarrow +\infty} {\sqrt{\frac{n}{n}\cdot n(n-1)}-n }\\
=\lim \limits_{n\rightarrow +\infty} {\sqrt{\frac{1}{n}\cdot n^2(n-1)}-n }\\
=\lim \limits_{n\rightarrow +\infty} { n \sqrt{\frac{n-1}{n}}-n }\\
=\lim \limits_{n\rightarrow +\infty} { n \sqrt{1-\frac{1}{n}}-n }\\
=\lim \limits_{n\rightarrow +\infty} { n \textcolor[rgb]{1,0,0}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}} } -n }\\$$

Die Taylorreihen-Entwicklung von mit Entwicklungspunkt 1

Wir setzen für  $$\small{\text{$x=-\frac{1}{n}$}}$$

$$\small{\text{
$
\left(1-\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}}
=
1
+ \dfrac{1}{2}\cdot \left( -\dfrac{1}{n} \right)
- \dfrac{1}{8}\cdot \left( -\dfrac{1}{n} \right)^2
+ \dfrac{1}{16}\cdot \left( -\dfrac{1}{n} \right)^3
- \dfrac{5}{128}\cdot \left( -\dfrac{1}{n} \right)^4
\pm \cdots
$
}}\\\\
\small{\text{
$
=
1
- \dfrac{1}{2}\cdot \left( \dfrac{1}{n} \right)
- \dfrac{1}{8}\cdot \left( \dfrac{1}{n} \right)^2
- \dfrac{1}{16}\cdot \left( \dfrac{1}{n} \right)^3
- \dfrac{5}{128}\cdot \left( \dfrac{1}{n} \right)^4
\pm \cdots
$
}}\\\\
\small{\text{$
{ n \textcolor[rgb]{1,0,0}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}} } -n }
=
n\cdot \left[
1
- \dfrac{1}{2}\cdot \left( \dfrac{1}{n} \right)
- \dfrac{1}{8}\cdot \left( \dfrac{1}{n} \right)^2
- \dfrac{1}{16}\cdot \left( \dfrac{1}{n} \right)^3
- \dfrac{5}{128}\cdot \left( \dfrac{1}{n} \right)^4
\pm \cdots \right] -n
$}}\\\\
\small{\text{$
{ n \textcolor[rgb]{1,0,0}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}} } -n }
=
\not{n}
- \dfrac{1}{2}\cdot \left( \dfrac{n}{n} \right)
- \dfrac{1}{8}\cdot \left( \dfrac{1}{n^1} \right)
- \dfrac{1}{16}\cdot \left( \dfrac{1}{n^2} \right)
- \dfrac{5}{128}\cdot \left( \dfrac{1}{n^3} \right)
\pm \cdots -\not{n}
$}}\\\\
\small{\text{$
{ n \textcolor[rgb]{1,0,0}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}} } -n }
=
- \dfrac{1}{2}\cdot \left( \dfrac{n}{n} \right)
- \dfrac{1}{8}\cdot \left( \dfrac{1}{n^1} \right)
- \dfrac{1}{16}\cdot \left( \dfrac{1}{n^2} \right)
- \dfrac{5}{128}\cdot \left( \dfrac{1}{n^3} \right)
\pm \cdots
$}}\\\\
\small{\text{$
{ n \textcolor[rgb]{1,0,0}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}} } -n }
=
- \dfrac{1}{2}
- \dfrac{1}{8}\cdot \left( \dfrac{1}{n^1} \right)
- \dfrac{1}{16}\cdot \left( \dfrac{1}{n^2} \right)
- \dfrac{5}{128}\cdot \left( \dfrac{1}{n^3} \right)
\pm \cdots
$}}\\\\
\small{\text{
$
\lim \limits_{n\rightarrow +\infty} \left[ - \dfrac{1}{2}
- \dfrac{1}{8}\cdot \left( \dfrac{1}{n^1} \right)
- \dfrac{1}{16}\cdot \left( \dfrac{1}{n^2} \right)
- \dfrac{5}{128}\cdot \left( \dfrac{1}{n^3} \right)
\pm \cdots \right] = -\dfrac{1}{2}
$}}$$

Hallo anonymous !

Ich vermute, du suchst den Grenzwert für den Term

Wurzel aus (n2- n) –n. Das zweite – n steht nicht mit unter der Wurzel.

Also

Grenzwert von f(n) für n ⇒ ∞

f(n) = √(n² - n) - n

Nach MatheGrafix liegt die Lösung bei -0.5 . Wie kommen wir da hin?

Versuch Wertetabelle:

n :       0     0,5       1       2        3           4         10        50           1000         10^6

f(n) :   0  komplex  -1   -0,58   -0,55    -0,535  -0,513  -0,503     -0,500125  -0,5000...

Der Grenzwert von f(n) = √(n² - n) -n     für n ⇒ ∞  ist   -0,5

Einen anderen Weg habe ich leider nicht parat.

Für negative Werte von n ist f(n) bei kleiner werdendem n positiv und größer werdend.

Für 0 < n < 1 ist f(n) nicht definiert.

Gruß asinus :- )

Hallo asinus,

vielleicht hilft dir diese Ableitung des Grenzwertes.

Ich schau da noch  nicht durch !

Gruß radix !

Ich bin auch zu dem Ergebnis wie heureka gekommen.

Vielen lieben Dank. Mein Sonntag ist gerettet.

Natürlich sollte man die Fragen der Fragesteller ernst nehmen, sofern sie ordentlich formuliert sind. Man sollte sich aber auch überlegen, keine Antwort zu geben, wenn man nicht in der Lage ist, die Frage zu beantworten.

Ordentlich formulierte Fragen sind  natürlich willkommen. Für die Fragen, die nicht so gut formuliert sind, finden sich netterweise auch Helfer, die auch diesen Fragesteller ernst nehmen.

Galt der Rüffel mir? Wofür?