Ich benötige Hilfe bei der Berechnung des Goldenen Schnittes. Ich weiß das a sich zu b verhält wie a+b zu a, also a/b = (a+b)/a. Jetzt ist nur die Frage wie berechne ich denn b, wenn ich nur a habe. Auflösen der Gleichung ist mir nicht gelungen.
+12531 Man erhält eine quadratische Gleichung.
Das positive Ergebnis ist die Lösung. Negative Strecken gibt es nicht. Die negative Lösung entfällt also.
+26387 Ich benötige Hilfe bei der Berechnung des Goldenen Schnittes. Ich weiß das a sich zu b verhält wie a+b zu a, also a/b = (a+b)/a. Jetzt ist nur die Frage wie berechne ich denn b, wenn ich nur a habe. Auflösen der Gleichung ist mir nicht gelungen.
\(\begin{array}{|lr|} \hline \begin{array}{|rcll|} \hline \dfrac{ a }{b} &=& \dfrac{a+b}{a}\\ \hline \end{array} &\text{Gegeben: a} &\text{Gesucht: b}\\ \hline \end{array}\)
\(\begin{array}{|rcll|} \hline \dfrac{ a }{b} &=& \dfrac{a+b}{a} \\ \dfrac{ a }{b} &=& \dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{a} \\ \dfrac{ a }{b} &=& 1+\dfrac{b}{a} \\ \dfrac{ a }{b} &=& 1+ \frac{1}{\frac{a}{b}} \quad & | \quad \text{Goldene Schnitt } = \frac{a}{b} = \varphi\\ \varphi &=& 1+ \dfrac{1}{\varphi} \quad & | \quad -1\\ \mathbf{\varphi -1} &\mathbf{=}&\mathbf{ {\dfrac{1}{\varphi}} }\quad & | \quad \mathbf{\color{red}!!!}\\ \hline \end{array} \)
Die Berechnung des goldenen Schnittes: \(\varphi\)
\(\begin{array}{|rcll|} \hline \varphi -1 &=& \dfrac{1}{\varphi} \quad & | \quad \cdot \varphi \\ \varphi^2 -\varphi &=& 1 \quad & | \quad -1 \\ \varphi^2 -\varphi -1 &=& 0 \\\\ \varphi_{1,2} &=& \dfrac{1\pm \sqrt{1-4\cdot(-1)} }{2} \\ \varphi_{1,2} &=& \dfrac{1\pm \sqrt{5} }{2} \\\\ \mathbf{\varphi_1}=\mathbf{\varphi} & \mathbf{=} & \mathbf{\dfrac{1+ \sqrt{5} }{2} = 1.61803398875\dots} \\ \mathbf{\varphi_2} & \mathbf{=} & \mathbf{\dfrac{1- \sqrt{5} }{2} = 1-\varphi = -0.61803398875\dots} \\ \hline \end{array} \)
Die Berechnung von: b
\(\begin{array}{|rcll|} \hline \dfrac{a}{b} &= \varphi \\ \varphi &=& \dfrac{a}{b} \quad & | \quad \cdot b \\ b\cdot \varphi &=& a \quad & | \quad : \varphi \\ b &=& \dfrac{a}{\varphi} \\\\ b_1 &=& \dfrac{a}{\varphi_1} \quad & | \quad \varphi_1 = \varphi \\ b_1 &=& \dfrac{a}{\varphi} \\ b_1 &=& a\cdot \dfrac{1}{\varphi} \quad & | \quad \dfrac{1}{\varphi} = \varphi -1 \\ \mathbf{b_1} &\mathbf{=}& \mathbf{(\varphi -1 )\cdot a} \\\\ b_2 &=& \dfrac{a}{\varphi_2} \quad & | \quad \varphi_2 = 1-\varphi \\ b_2 &=& \dfrac{a}{1-\varphi } \quad & | \quad -\dfrac{1}{\varphi} = -(\varphi -1) = 1-\varphi \\ b_2 &=& \dfrac{a}{\dfrac{-1}{\varphi} } \\ \mathbf{b_2} &\mathbf{=}& \mathbf{ -\varphi\cdot a }\\ \hline \end{array}\)
