Goldener Schnitt

Man erhält eine quadratische Gleichung.

Das positive Ergebnis ist die Lösung. Negative Strecken gibt es nicht. Die negative Lösung entfällt also.

Ich benötige Hilfe bei der Berechnung des Goldenen Schnittes. Ich weiß das a sich zu b verhält wie a+b zu a, also a/b = (a+b)/a. Jetzt ist nur die Frage wie berechne ich denn b, wenn ich nur a habe. Auflösen der Gleichung ist mir nicht gelungen.

$\begin{array}{|lr|} \hline \begin{array}{|rcll|} \hline \dfrac{ a }{b} &=& \dfrac{a+b}{a}\\ \hline \end{array} &\text{Gegeben: a} &\text{Gesucht: b}\\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|rcll|} \hline \dfrac{ a }{b} &=& \dfrac{a+b}{a} \\ \dfrac{ a }{b} &=& \dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{a} \\ \dfrac{ a }{b} &=& 1+\dfrac{b}{a} \\ \dfrac{ a }{b} &=& 1+ \frac{1}{\frac{a}{b}} \quad & | \quad \text{Goldene Schnitt } = \frac{a}{b} = \varphi\\ \varphi &=& 1+ \dfrac{1}{\varphi} \quad & | \quad -1\\ \mathbf{\varphi -1} &\mathbf{=}&\mathbf{ {\dfrac{1}{\varphi}} }\quad & | \quad \mathbf{\color{red}!!!}\\ \hline \end{array}$

Die Berechnung des goldenen Schnittes: $\varphi$

$\begin{array}{|rcll|} \hline \varphi -1 &=& \dfrac{1}{\varphi} \quad & | \quad \cdot \varphi \\ \varphi^2 -\varphi &=& 1 \quad & | \quad -1 \\ \varphi^2 -\varphi -1 &=& 0 \\\\ \varphi_{1,2} &=& \dfrac{1\pm \sqrt{1-4\cdot(-1)} }{2} \\ \varphi_{1,2} &=& \dfrac{1\pm \sqrt{5} }{2} \\\\ \mathbf{\varphi_1}=\mathbf{\varphi} & \mathbf{=} & \mathbf{\dfrac{1+ \sqrt{5} }{2} = 1.61803398875\dots} \\ \mathbf{\varphi_2} & \mathbf{=} & \mathbf{\dfrac{1- \sqrt{5} }{2} = 1-\varphi = -0.61803398875\dots} \\ \hline \end{array}$

Die Berechnung von: b

$\begin{array}{|rcll|} \hline \dfrac{a}{b} &= \varphi \\ \varphi &=& \dfrac{a}{b} \quad & | \quad \cdot b \\ b\cdot \varphi &=& a \quad & | \quad : \varphi \\ b &=& \dfrac{a}{\varphi} \\\\ b_1 &=& \dfrac{a}{\varphi_1} \quad & | \quad \varphi_1 = \varphi \\ b_1 &=& \dfrac{a}{\varphi} \\ b_1 &=& a\cdot \dfrac{1}{\varphi} \quad & | \quad \dfrac{1}{\varphi} = \varphi -1 \\ \mathbf{b_1} &\mathbf{=}& \mathbf{(\varphi -1 )\cdot a} \\\\ b_2 &=& \dfrac{a}{\varphi_2} \quad & | \quad \varphi_2 = 1-\varphi \\ b_2 &=& \dfrac{a}{1-\varphi } \quad & | \quad -\dfrac{1}{\varphi} = -(\varphi -1) = 1-\varphi \\ b_2 &=& \dfrac{a}{\dfrac{-1}{\varphi} } \\ \mathbf{b_2} &\mathbf{=}& \mathbf{ -\varphi\cdot a }\\ \hline \end{array}$