Ich sollte die stationären Punkte der Funktion 2x^3-3xy+y^3 berechnen und angeben ob es sich um Sattelpunkte,Minima,Maxima oder keine Aussage handelt. Nach Berechnungen kam ich auf einen Sattelpunkt bei den stationärem Punkt x1=0 y1=0. Bei dem Stationären Punkt x2=0.630 und y2=0.794 ein Minima. Nun wird von mir bei Aufgabe b die untere Frage verlangt, und ich weiß nicht weiter.
"Hat die Funktion ( 2x^3-3xy+y^3^)^2 ein globales Minimum"
Wenn ich die Funktion quadriere und den Prozess wiederhole kommen die komischsten Sachen heraus.
Ich brauche Hilfe! Vielen Dank im Vorraus.
+301 Ich stimme Asinus in gewisser Weise zu:
Wenn ich mit einer Funktion arbeiten soll, erwarte ich eigentlich etwas wie "f(x) = x²+2x+1" oder so.
Wenn das von Dir genannte eine Funktion ist wie "f(x) = (2x³ - 3xy + y³)²", dann würde x die sich ändernde Größe sein und y (glaube ich) ein variabler Koeffizient, der halt die Funktion zu einer Funktionsschar macht. Man könnte dann aber Extremwerte, Wendepunkte und sowas immer nur in Abhängigkeit von y bestimmen.
Wie auch immer: Ein globales Maximum bzw. Minimum ist an dem Punkt, wo die Funktion ihren kleinsten bzw. höchsten Wert hat.
Beispiel:
Du hast eine Funktion, deren Graph von links oben aus der positiven Unendlichkeit kommt und rechts oben in die positive Unendlichkeit verschwindet.
Diese Funktion muss irgendwo zwischen diesen beiden Unendlichkeiten ein Minimum haben, dass so klein ist, dass kein anderer möglicher Wert dieser Funktion jemals kleiner wird.
Das ist dann das globale Minimum. Das weiß ich sicher. Umgekehrt kann es natürlich ein globales Maximum geben, wenn Du bei dem gerade Gesagten "positive Unendlichkeit" jeweils durch "negative Unendlichkeit" und "oben" durch "unten" ersetzt.
Wenn Du eine Funktion hast, die von links oben aus der positiven Unendlichkeit kommt und rechts unten in die negative Unendlichkeit verschwindet, gibt es kein bestimmbares globales Maximum oder Minimum (meiner Meinung nach, vielleicht gibt es dann ja irgendeine Definition, die mir nur nicht bekannt ist), weil Du für jeden denkbaren Wert immer noch einen kleineren bzw. größeren finden wirst, indem Du einfach ein noch größeres oder kleineres X wählst.
+301 Noch ein Gedanke zum von Dir geposteten Term: Da der ganze Term in einer Klammer mit einem quadratischen Exponenten steht, ist die Antwort auf die Frage, ob es ein globales Minimum gibt, "Ja".
Denn der Wert einer beliebigen Funktion, die nur diesen Term enthält, kann nur positive Werte bzw.0 annehmen für x=0 und y=0.
Für alle denkbaren Funktionswerte für x und / oder y, die größer oder kleiner sind als 0, wird der Wert des Terms größer als 0, denn auch ein negativer Wert in der Klammer wird positiv, wenn man ihn quadriert.
Also ja, es muss ein globales Minimum geben, und das kleinste denkbare ist (0|0) für x = 0 und y = 0.
Aus reiner Neugier würde ich gerne die genaue Aufgabe wissen mit allem drum und dran, und wie Du auf stationäre Punkte bzw. Maxima und Minima gekommen bist.
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