Gleichungslöser

Hallo asinus,

ich glaube, ich habe es !

x³ - 8     faktorisieren      ->      ( x² + 2x +4 ) * ( x - 2 )

1.)     x - 2 = 0        ->   x =2

2.)     x²+2x+4 = 0    ->    x = -1 + Wurzel aus( 1-4) =

$${\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{1}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\sqrt{-{\mathtt{3}}}}$$   =  -1 + i * Wurzel 3

und    $${\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{1}}{\mathtt{\,-\,}}{\sqrt{-{\mathtt{3}}}}$$  =  -1 - i * Wurzel 3

Gruß radix !

Hallo asinus,

hier der Versuch einer Erklärung:

Wenn man  die  8  faktorisiert erhält man  2³   ->   3.Wurzel = 2

Berücksichtigt man auch die imaginären Zahlen erhält man  8 = (-1 - i*sqrt(3))³

und  8 = ( -1+ i*sqrt(3))³

(-1-i*sqrt(3))³ = (-1-i*sqrt(3))²*(-1-i*sqrt(3)) = 2*(-1+i*sqrt(3)) ) * (-1-i*sqrt(3)) = 2*(1-i²*3)= 2* (1+3) = 8

Ich hoffe, dass du dich mit dieser "Erklärung" anfreunden kannst.

Gruß radix !

Danke radix,

du beweist, daß die Lösungen richtig sind, aber warum ist

8 = ( -1+ i*sqrt(3))³ ?

Wie kommt dieser Term zustande ?

Grüße von asinus

Hallo asinus,

ich kann dir leider auch nur sagen: Wenn man " meine " Termumformungen rückwärts abwickelt, kommt man zwangsläufig zu den bekannten Ergebnissen !

Ein anderes Beispiel:   x^4 = 16     ->  x² = z   ->  z² = 16   -> z = +4  und  z= -4

x² = 4    ->  x=+2     x= - 2       ;    x² = -4    >   x=  + 2i   und  x= -2i

Es ist wirklich so:    x^4 = 16   ->  x1 = 2  ;  x2 = -2  ;   x3 = 2i  ;  x4 = -2i

(-2i)^4 = 16    usw.       

Gruß radix !

Danke radix!

Gruß asinus  :- )))