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avatar+8144 

Bei Eingabe der Gleichung

x^3 = 8 

kommt als Lösung

{x=sqrt(3)*i-1, x=-(sqrt(3)*i)-1, x=2}.

Ich wüßte gerne, wie der Gleichungslöser das rechnet.

Vielleicht weiß da jemand näheres?

Danke im Voraus !

 

Gruß asinus

 29.08.2014

Beste Antwort 

 #4
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+10

Hallo asinus,

ich glaube, ich habe es !

x³ - 8     faktorisieren      ->      ( x² + 2x +4 ) * ( x - 2 )

1.)     x - 2 = 0        ->   x =2

2.)     x²+2x+4 = 0    ->    x = -1 + Wurzel aus( 1-4) =

$${\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{1}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\sqrt{-{\mathtt{3}}}}$$   =  -1 + i * Wurzel 3

und    $${\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{1}}{\mathtt{\,-\,}}{\sqrt{-{\mathtt{3}}}}$$  =  -1 - i * Wurzel 3

 

Gruß radix !

 30.08.2014
 #1
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+5

Hallo asinus,


hier der Versuch einer Erklärung:


Wenn man  die  8  faktorisiert erhält man  2³   ->   3.Wurzel = 2


Berücksichtigt man auch die imaginären Zahlen erhält man  8 = (-1 - i*sqrt(3))³


und  8 = ( -1+ i*sqrt(3))³


(-1-i*sqrt(3))³ = (-1-i*sqrt(3))²*(-1-i*sqrt(3)) = 2*(-1+i*sqrt(3)) ) * (-1-i*sqrt(3)) = 2*(1-i²*3)= 2* (1+3) = 8


Ich hoffe, dass du dich mit dieser "Erklärung" anfreunden kannst.


Gruß radix !

 30.08.2014
 #2
avatar+8144 
0

Danke radix,

du beweist, daß die Lösungen richtig sind, aber warum ist

8 = ( -1+ i*sqrt(3))³ ?

Wie kommt dieser Term zustande ?

Grüße von asinus

 30.08.2014
 #3
avatar+14537 
+5

Hallo asinus,


ich kann dir leider auch nur sagen: Wenn man " meine " Termumformungen rückwärts abwickelt, kommt man zwangsläufig zu den bekannten Ergebnissen !


Ein anderes Beispiel:   x^4 = 16     ->  x² = z   ->  z² = 16   -> z = +4  und  z= -4


x² = 4    ->  x=+2     x= - 2       ;    x² = -4    >   x=  + 2i   und  x= -2i


Es ist wirklich so:    x^4 = 16   ->  x1 = 2  ;  x2 = -2  ;   x3 = 2i  ;  x4 = -2i


(-2i)^4 = 16    usw.       


Gruß radix !

 30.08.2014
 #4
avatar+14537 
+10
Beste Antwort

Hallo asinus,

ich glaube, ich habe es !

x³ - 8     faktorisieren      ->      ( x² + 2x +4 ) * ( x - 2 )

1.)     x - 2 = 0        ->   x =2

2.)     x²+2x+4 = 0    ->    x = -1 + Wurzel aus( 1-4) =

$${\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{1}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\sqrt{-{\mathtt{3}}}}$$   =  -1 + i * Wurzel 3

und    $${\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{1}}{\mathtt{\,-\,}}{\sqrt{-{\mathtt{3}}}}$$  =  -1 - i * Wurzel 3

 

Gruß radix !

radix 30.08.2014
 #5
avatar+8144 
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Danke radix!

Gruß asinus  :- )))

 30.08.2014

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