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Weiss jemand wie man diese Gleichung kürzen kann?

(x^4-4x^3+4x^2)/x^5-8x^3+16x

 26.10.2021
 #1
avatar+3181 
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\((x^4-4x^3+4x^2)/x^5-8x^3+16x = \frac{1}{x} - \frac{4}{x^2} + \frac{4}{x^3} -8x^3+16x\)

.
 26.10.2021
 #2
avatar+3181 
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Falls du (x^4-4x^3+4x^2)/(x^5-8x^3+16x) meinst, also \(\frac{x^4-4x^3+4x^2}{x^5-8x^3+16x}\), ist die vollständig gekürzte Variante \(\frac{x}{(x+2)^2}\).

 26.10.2021
 #3
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Danke, ich habe (x^4-4x^3+4x^2)/(x^5-8x^3+16x) gemeint. Was wäre der Lösungsweg zur Aufgabe?

Gast 27.10.2021
 #4
avatar+3181 
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Am sinnvollsten ist es wahrscheinlich, eine vollständige Zerlegung in Linearfaktoren für Zähler und Nenner jeweils einzeln durchzuführen. Also erstmal Nullstellen & dann als Produkt von Linearfaktoren umschreiben. Danach sieht man gut, was man kürzen kann.

Ich hab's hier nicht selbst gemacht um ehrlich zu sein, wenn nicht klar ist, was ich mein', kann ichs aber gern mal vormachen (oder besser: du fängst mal mit der Nullstellenberechnung an, vielleicht siehst du, was ich mein'. Ggf. kannst du gern auch deine Zwischenergebnisse präsentieren und ich sag' dir wie's weitergeht oder was falsch ist.)

Probolobo  27.10.2021
 #5
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Ich wäre froh wenn du es vormachen könntest. Ich tue mich etwas schwer mit dem berechnen.

Gast 28.10.2021
 #6
avatar+3181 
+1

Also gut, auf gehts!

Wir fangen mal mit dem Zähler an: x4-4x3+4x2. Da fällt (hoffetlich) auf, dass wir x2 ausklammern können. Dadurch wird unser Zähler zu

 

x2(x2-4x+4)

 

Bei dem zweiten Faktor könnte einem jetzt auffallen, dass das eine binomische Formel ist. Alternativ nutzt man klassisch die Mitternachtsformel und findet x1/2=2. Daher können wir unseren Zähler auch schreiben als

 

x2(x-2)2

 

Das ist die vollständige Linearfaktorzerlegung des Zählers. Jetzt geht's mit dem Nenner weiter: x5-8x3+16x. Auch hier können wir zunächst x ausklammern:

 

x(x4-8x2+16)

 

Nun suchen wir noch die Nullstellen des zweiten Faktors:

 

x4-8x2+16 = 0

 

Da müsste einem auffallen, dass der erste Exponent das doppelte des zweiten ist. Das ist ein deutlicher Hinweis, dass Substitution hier angebracht ist:

 

x4-8x2+16 = 0 |z=x2

z2-8z+16 = 0

 

Diese Gleichung kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden, man findet z1/2=4. Das ist jetzt aber noch nicht der gesuchte x-Wert, sondern ein Wert für z. Daher: Rücksubstitution!

z=x2

4=x2  |Wurzel

x1=2 und x2=-2

Da wir den Wert für z "zweimal", also als doppelte Lösung der z-Gleichung, erhalten haben, finden wir auch diese beiden x-Werte jeweils doppelt. Unser Zähler lässt sich daher schreiben als

 

x(x+2)2(x-2)2

 

Mit diesen beiden Resultaten wird unsere Funktion zu

\(\frac{x^4-4x^3+x^2}{x^5-8x^3+16x} = \frac{x^2\cdot (x-2)^2}{x\cdot (x+2)^2\cdot (x-2)^2} = \frac{x}{(x+2)^2}\)

 

Im zweiten Schritt kürze ich die beiden (x-2)2 und ein x weg, wodurch unser finales Ergebnis entsteht.

Probolobo  28.10.2021

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