Hallo ich brächte dringend Hilfe bei dieser Aufgabe :)
Ein Unternehmen arbeitet bei der Herstellung zweier Güter mit der Gewinnfunktion G(x, y) = 16x + 10y + 2xy − 4x 2 − 2y 2 − 20. Es gilt die Kapazitätsrestriktion: x + 𝑦 = 4 . Bestimmen Sie das Gewinnmaximum.
+3976 Aus x+y=4 folgt direkt x=4-y. Das kann in die Gewinnfunktion eingesetzt werden, wir erhalten
G(y)=16*(4-y) + 10y +2*(4-y)*y-4*(4-y)2 -2y2 -20 =
=64-16y +10y +8y -2y2 -64 +32y -4y2 -2y2 -20 =
= -8y2 +26y -20
Die Gewinnfunktion hängt jetzt nur noch von einer Variable (y) ab, der Wert der anderen (x) ergibt sich durch x=4-y. Das Maximum kann entweder durch Scheitelbestimmung der Parabel gefunden werden (wie damals in der 9. Klasse?), oder man leitet ab und sucht die Nullstelle:
G'(y) = -16y +26 = 0
-> 16y = 26
-> y = 26/16 = 13/8 = 1,625.
Damit ist x=4-1,625 = 2,375.
(Man könnte noch nachweisen, dass es sich um ein Maximum handelt, indem man die Vorzeichentabelle der Ableitung erstellt. Hier ist's aber eigentlich klar, weil die Gewinnfunktion eine nach unten geöffnete Parabel ist.)
Das Gewinnmaximum wird also erreicht mit (x,y)=(2,375; 1,625). Den maximalen Gewinn erhalten wir, wenn wir entweder dieses Tupel in G(x,y) einsetzen, oder y=1,625 in unser vorhin bestimmtes G(y):
G(1,625) = -8*1,6252 +26*1,625 -20 = 1,125
