Gesucht ist eine Natürliche Zahl 0 <= k <=6 sodass 22222^55555+55555^22222 kongruent zu k mod 7 ist,

Gesucht ist eine Natürliche Zahl 0 <= k <=6 sodass 22222^55555+55555^22222 kongruent zu k mod 7 ist

$$\small{ \text{
$
22222^{55555}+55555^{22222} \quad | \quad 22222 = 4 \mod 7 \qquad 55555= 3 \mod 7
$
}}\\
\small{ \text{
$
\equiv 4^{55555}+3^{22222} \\
$
}}\\
\small{ \text{
$
\equiv ( 4^{5} )^{11111}+( 3^{2} )^{11111 } \quad | \quad 4^5 = 2 \mod 7 \qquad 3^2= 2 \mod 7
\\
$
}}\\
\small{ \text{
$
\equiv 2^{11111}+ 2^{11111 }
$
}}\\
\small{ \text{
$
\equiv 2*2^{11111}
$
}}\\
\small{ \text{
$
\equiv 2^{11112 }
$
}}\\
\small{ \text{
$
\equiv (2^{24})^{463} \quad | \quad 2^{24} = 1 \mod 7
$
}}\\
\small{ \text{
$
\equiv 1^{463} \mod 7 \quad | \quad 1^{463} = 1
$
}}\\
\small{ \text{
$
\equiv 1 \mod 7
$
}}$$

k=1

Danke!                                                                                         ----