Geometrie

Nach einem Unfall blockiert ein LKW-Container einen Straßentunnel

a) Wie breit ist der Tunnel, wenn der Winkel α=40° beträgt?

d = Breite des Tunnels

\(\begin{array}{|rcll|} \hline d &=& d_1 + d_2 \\ d &=& c\cdot \sin(\alpha)+b\cdot \cos(\alpha) \quad & | \quad \alpha=40^{\circ} \quad b=250\ cm \quad c=715\ cm \\ d &=& 715\cdot \sin(40^{\circ})+250\cdot \cos(40^{\circ}) \\ d &=& 715\cdot 0,64278760969+250\cdot 0,76604444312 \\ d &=& 459,593140926+191,511110780 \\ \mathbf{d} & \mathbf{=} & \mathbf{651,104251706\ cm} \\ \hline \end{array}\)

Die Breite des Tunnels beträgt 651,1 cm

Ich berechne dafür zunächst alle Winkel und Längen im Container, das hilft für beide Teilaufgaben. 

Der Container wird ja durch e in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt. Dann gilt mit Pythagoras:
\(e = \sqrt{b^2+c^2}= \sqrt{250^2+715^2} \approx 757,4\).

Nun zu den Winkeln im Container. Für den spitzeren Winkel gilt

\(tan( \beta) = {250 \over 715} \Rightarrow \beta = tan^{-1}({250 \over 715} ) \approx 19,3°\)

Damit ist der "nicht so spitze" Winkel 70,7° groß. 

Nun beginne ich mit Teilaufgabe a). Der Winkel zwischen e und der Breite des Tunnels ist 40° +19,3° = 59,3° groß. 

Dann gilt für die Breite:

\(sin(59,3°) = {b_{Tunnel} \over e } \Rightarrow b_{Tunnel} = sin(59,3°) \cdot e \\ \Rightarrow b_{Tunnel} \approx 0,86 \cdot 757,4 \approx 651,4 \ \ \ .\)

In Teilaufgabe b) steht e dann senkrecht auf der Tunnelwand, es gilt also

\(90° = \alpha +19,3° \Rightarrow \alpha = 90°-19,3° = 70,7°\)

Ich hoffe, ich konnte helfen.