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Gegeben ist die Gleichung einer Parabel p(x)=-x^2+4x

zeichnen sie für 0< x <4 die Parabel (habe ich gemacht)

für welchen Punkt P hat das Rechteck den größtmöglichsten Flächeninhalt?

 

ich habe gestern eine Frage dazu gestellt und es wurde mir super erklärt, deshalb habe ich versucht mit dem Wissen eine neue Aufgabe selbstständig zu lösen. Daher stelle ich meine Lösung hier rein und würde mich freuen, wenn mir jemand mitteilen könnte, ob mein Rechenweg stimmt. :-)

 

1 Schritt: Zielfunktion aufsetzen

A(u)= a *b

= u * f(u)

=u*( -u ^2 +4u)

= -u ^3 +4 u ^2 --> Zielfunktion

 

2.Schritt Zielfunktion ableiten und gleich 0 setzen

A'(u)=0

A'(u)= -3u^2 +8u=0

= u(-3u+8)=0

u1= 0

u2= -3u+8=0 |-8

= -3u=-8 | :(-3)

u2= 8/3

 

3.Schritt Zweite Ableitung, prüfen ob extremum vorliegt

A''(u) = -14 also HP liegt vor da kleiner 0

 

4 Schritt Randwerte prüfen

A(0)= 0

A(4)=0

A(8/3)= 9,48 absolutes maximum

 

Also liegt bei u= 8/3 ein absolutes maximum vor und mit u=8/3 ist das Rechteck maximal.

 

vielen Dank im Voraus! :-)

 26.04.2021
 #1
avatar+2425 
+1

Sieht alles super aus, gute Arbeit!

Man könnte höchstens noch erwähnen, dass der maximale Flächeninhalt dann 9,48 ist - das ist aber ja eigentlich auch so schon klar. Freut mich sehr, dass du mit diesem Aufgabentyp jetzt selbstständig klar kommst ;)

 26.04.2021
 #2
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+2

Dankeschön!! Ich freue mich auch total, habe das Thema davor nicht verstanden, aber durch die Erklärung und üben, üben üben hat es letztendlich gut geklappt. Ich hoffe, dass ich die Aufgabe in meiner Klausur sehr gut meistern kann jetzt. :-)
 

noch eine Frage: habe jetzt zur selben Funktion den größtmöglichen Umfang versucht rauszufinden

 

1. Zielfunktion aufsetzen

Z(u)= 2u * 2* f(u)

=2u-2u^2-8u

= -2u ^2-6u --> Zielfunktion

 

2 Schritt Z'(u) =0

-4u - 6= 0 |+6

-4u= 6   |:(-4)

u= -3/2

 3 Schritt Z''(u) = -4 --> HP da wieder kleiner als 0

4 Schritt Randwerte überprüfen

Z(0)= 0

Z(4)= -56

Z(-3/2)= 1,7 

Da ich ja das Rechteck von 0 bis 4 zeichnen sollte sollte es sich ja in diesem Bereich bewegen und die Nullstelle ist ebenfalls bei 0 und 4 deshalb ist für u= -3/4 mit 1,7 FE der max. FE für das Rechteck. Stimmt das? :-)

 26.04.2021
 #3
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0

Oh ich meinte natürlich für u= -3/2 

 26.04.2021
 #4
avatar+2425 
+1

Hier machst du beim Bestimmen der Zielfunktion 2 Mini-Fehler:

Zuerst schreibst du Z(u) = 2*u * 2*f(u) - in der Mitte bräuchtest du aber ein +, also 2*u + 2*f(u).

Ist aber glaub' ich nur ein Schreibfehler, weil du in der Zeile darunter schon eher + rechnest.

Dein " 2*f(u) " wird da aber zu -2u2 -8u , müsste aber -2u2+8u sein (also ein kleiner Vorzeichenfehler, sieht aus als hättest du nur falsch von der Funktion abgeschrieben. Der Rest passt dann eigentlich.

 

Mir ist übrigens gerade noch aufgefallen: In deinem Aufgabentext steht ja nur "das Rechteck" - welches eigentlich?

Deine Funktion ist ja eine Parabel. Ich mal mal auf wie's aussieht:

 

 

Das, was du gemacht hast, passt zu Rechtecken, die wie das grüne Rechteck eingezeichnet werden, bei denen also 2 Seiten Teile der Koordinatenachsen sind. Es würde aber durchaus Sinn machen, sich Rechtecke anzusehen, die unter der Funktion eingezeichnet werden können. Dann würd's etwas anders ablaufen. Wie ist es denn gemeint?

 26.04.2021
 #5
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0

Oh, das habe ich vergessen aufzuschreiben.

 

,,P(u | f(u)) ist ein beliebiger Punkt auf der Parabel. Außerdem sind die Punkte Q und R gegenen mit Q(u | 0) und R(0| f(u))."
 

und dann war die Frage: Für welchen Punkt P hat das Rechteck OQPR den größtmöglichen Umfang? 

 

oh man, da habe ich wohl einen Fehler gemacht bei der Zielfunktion.

ich habe sie so berechnet:

 

=2u + 2 f(u)

= 2 u+ 2 (-u^2 +4u)

= 2u -2u^2+ 8u (tatsächlich hatte ich hier einen Vorzeichenfehler!) hatte davor -8..

ich wollte das dann noch verkürzen..

 


 

 26.04.2021
 #6
avatar+2425 
+1

Optimal, dann stimmt alles so! :)

 

Ja Zusammenfassen macht auch absolut Sinn, du landest dann bei Z(u) = -4u2 +10u

 

Dann musst du aber genau das tun, was du oben schon gemacht hast. Der Rechenweg wäre komplett korrekt gewesen.

Probolobo  26.04.2021

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