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avatar+14082 

Auch für mich ist das Gauß-System ein neuer Begriff. Wer kann es mir, am besten am Beispiel aus der vorherigen Frage, erläutern?

 01.12.2021
 #1
avatar+3931 
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Na rat' mal wer ;)

Wir lösen das Gleichungssystem

6=a+b+c+d

0=3a+2b+c

0=24a+2b

2=-a+b-c+d

oder, anders aufgeschrieben, 

1a+1b+1c+1d = 6

3a+2b+1c+0d = 0

24a+2b+0c+0d  = 0 

-1a+1b-1c+1d = 2

Um deutlich weniger schreiben zu müssen, können wir die Variablen & die =-Zeichen weglassen & daraus eine Koeffizientenmatrix erstellen:

 

1  1  1  1  |  6

3  2  1  0  |  0

24 2  0 0  |  0

-1 1 -1  1  |  2

 

Ziel ist nun, durch Addition von Zeilen & Skalieren von Zeilen (wenn nötig auch Tauschen von Zeilen) diese Matrix so umzuformen, dass Links vom Trenn-Strich eine Einheitsmatrix steht, also nur noch Einsen auf der Diagonalen & Nullen sonst. Dafür würde ich zu Beginn die erste Zeile "normieren", also so teilen, dass ganz vorne eine 1 steht. Das ist bereits der Fall, deswegen geht's weiter mit Schritt 2: Zeile 1 von den anderen Abziehen, und zwar so oft, dass unter der 1 links oben nur noch Nullen stehen:

 

1  1  1  1  |  6

3  2  1  0  |  0    |-3*I

24 2  0 0  |  0    |-24*I

-1 1 -1  1  |  2    |+1*I

 

1   1   1   1   |  6

0  -1  -2  -3   |  -18

0 -22 -24 -24 | -144

0   2   0   2    |   8

 

Nun wird in Zeile 2 auf der Diagonalen die 1 erzeugt. Dieses mal müssen wir dafür Teilen, nämlich durch -1:

 

1   1   1   1   |  6

0  -1  -2  -3   |  -18   |*(-1)

0 -22 -24 -24 | -144

0   2   0   2    |   8

 

1   1   1   1   |  6

0   1   2    3   |  18

0 -22 -24 -24 | -144

0   2   0   2    |   8

 

Weiter geht's mit abziehen der zweiten Zeile, um unter der Diagonal-1 wieder Nullen zu erzeugen:

 

1   1   1   1   |  6

0   1   2    3   |  18  

0 -22 -24 -24 | -144  |+22*II

0   2   0   2    |   8     |-2*II

 

1   1   1   1   |  6

0   1   2    3  |  18  

0   0  20  42 |   252

0   0  -4  -4   | -28

 

Normieren der 3. Zeile liefert wieder die 1 auf der Diagonalen:

 

1   1   1   1   |  6

0   1   2    3  |  18  

0   0  20  42 |  252  |:20

0   0  -4  -4   | -28

 

1   1   1   1   |  6

0   1   2    3  |  18  

0   0   1 2,1 | 12,6

0   0  -4  -4   | -28

 

Addieren von Zeile 3 zu Zeile 4 liefert wieder eine Null unter der Diagonalen:

 

1   1   1   1   |  6

0   1   2    3  |  18  

0   0   1  2,1 | 12,6

0   0  -4  -4   | -28   |+4*III

 

1   1   1   1   |  6

0   1   2    3  |  18  

0   0   1  2,1 | 12,6

0   0   0  4,4  | 22,4

 

Ein letztes mal Normieren liefert die letzte 1 auf der Diagonalen:

 

1   1   1   1   |  6

0   1   2    3  |  18  

0   0   1  2,1 | 12,6

0   0   0  4,4  | 22,4   |:4,4

 

1   1   1   1   |  6

0   1   2    3  |  18  

0   0   1  2,1 | 12,6

0   0   0   1  | 56/11

 

Nun werden die Nullen über der Diagonalen erzeugt. Man beginnt mit den Nullen rechts, indem man die letzte Zeile zu denen darüber addiert. Jetzt wird sozusagen "von unten nach oben" gearbeitet. Da die Lösung so "brüchig" ist, haben wir rechts jetzt immer Brüche, das ist ein bisschen unschön, aber wenn's so ist ist's halt so.

 

1   1   1   1   |  6     |-1*IV

0   1   2    3  |  18      |-3*IV

0   0   1  2,1 | 12,6    |-2,1*IV

0   0   0   1  | 56/11   

 

1   1   1   0  |  10/11

0   1   2   0  |  30/11  

0   0   1   0  |  21/11

0   0   0   1  |  56/11

 

Für die nächsten Nullen addieren wir Zeile 3 passend zu den Zeilen darüber:

 

1   1   1   0  |  10/11  |-1*III

0   1   2   0  |  30/11  |-2*III

0   0   1   0  |  21/11

0   0   0   1  |  56/11

 

1   1   0   0  |  -11/11

0   1   0   0  |  -12/11  

0   0   1   0  |  21/11

0   0   0   1  |  56/11

 

Zieht man jetzt noch Zeile 2 von Zeile 1 ab, ist man fertig:

 

1   1   0   0  |  -11/11   |-1*II

0   1   0   0  |  -12/11  

0   0   1   0  |  21/11

0   0   0   1  |  56/11

 

1   0   0   0  |  1/11

0   1   0   0  |  -12/11  

0   0   1   0  |  21/11

0   0   0   1  |  56/11

 

Unsere Lösung ist demnach a=1/11 (hatten wir vorhin ja auch gefunden), b=-12/11, c=21/11 und d=56/11.

Sieht nach ultra viel Aufwand aus, weil ich's sehr ausführlich aufgeschrieben hab. Im Prinzip ist's aber nur eine Variante des Additionsverfahrens, die, ohne nach "smarten", gut geeigneten Additionen oder Tricks Ausschau zu halten, einfach immer das selbe Schema durchzieht. Es funktioniert bei jedem lösbaren Gleichungssystem.

 

Ich hoff' das war hilfreich - ansonsten gibt's sicherlich auf Youtube oder sonstwo noch gute Tutorials :D

 01.12.2021
 #2
avatar+14082 
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Hallo Probolobo,

das war Neuland für mich. Mit dem Berechnen von Matritzen hatte ich selten etwas zu tun. Von Gauß wusste ich schon einiges, vo allem von Folgen und Reihen oder der Zahl Pi, der hat ja fast alles berechnet, also auch Gleichungssysteme. Du hast das prima erklärt, dieses mal muss ich Youtube nicht heranziehen. Danke!

 02.12.2021
 #3
avatar+3931 
+1

Freut mich sehr zu hören, danke auch! :)
Durch seinen simplen Aufbau und die konstanz der Schritte ist das Gauß-Verfahren übrigens auch leicht zu programmieren. In der Praxis hat es allerdings stark an Relevanz verloren, weil andere Verfahren, die irgendwelche Matrix-Zerlegungen involvieren, bei kleinen Fehern in der Eingabe stabilere Ergebnisse liefern und/oder mit weniger Rechenzeit auskommen (zB. LR-Zerlegung, nur als Stichwort zum weitergooglen für die besonders motivierten).

Probolobo  02.12.2021

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