+109 Das ist auch so eine Aufgabe, wo mir der Plan fehlt:
a)
Welches Volumen hat der Rotationskörper, der durch die Rotation der Funktionskurve von
\(f∶\ \left[0\ \ast\frac{\pi}{2}\right]\)
-> R, f(x) = cos x, um die x-Achse entsteht?
b)
Berechnen sie den Inhalt der Fläche, die von den Funktionskurven der beiden Funktionen
g(x) = \(\frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{2} \)
und h(x) = x² -1 eingeschlossen wird.
Gruss Tommy
+15139 Guten Morgen Tommy!
Zunächst a) :
Welches Volumen hat der Rotationskörper,
der durch die Rotation der Funktionskurve von : \(f∶\ \left[0\ \ast\frac{\pi}{2}\right]\)
-> R, f(x) = cos x, um die x-Achse entsteht?
Ein Tortenstückchen aus dem Rotationskörper:
Die Breite ist dφ.
Die Seitenflächen sind
\(A=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \! cos(x) \, dx \) \(=\ _0^{\frac{\pi}{2}}\ | sin(x) | \) \(=\ sin(\frac{\pi}{2})-sin(0)=1-0=1\)
\(A=1\)
Das Volumen des Tortenstückchens ist
\(dV=\frac{1}{2}\times A\times dφ=\frac{1}{2}\times1\times dφ\\\color{blue} dV=\frac{1}{2}\times dφ\)
Das Volumen des Rotationskörpers ist
\(V=\int_{0}^{2\pi} \! dV \, =\int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \, dφ\) \(=\ _0^{\frac{\pi}{2}}\ | \frac{1}{2}φ | =\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}\)
\(\large V=\frac{\pi}{4}\)
Entschuldigung! Ich habe die Fläche um die y-Achse gedreht.
Danke Omi67 für die Richtigstellung!
b) kommt etwas später.
Gruß 
!
+12531 Stelle Dir vor, die gelbe Fläche rotiert um die x-Achse. Der durchstreifte Raum beschreibt das gesuchte Volumen.
Der Körper sieht dann so aus:
Zur Volumenberechnung brauchst Du zwei Formeln.
+12531
b)
Berechnen sie den Inhalt der Fläche, die von den Funktionskurven der beiden Funktionen
g(x) und h(x) eingeschlossen wird.
Die gelbe Fläche ist die eingeschlossene Fläche, Man erkennt, dass die Integrationsgrenze -1 und 1 sind.
Man darf sie aber nicht einfach so aus der Zeichnung ablesen, sondern man muss sie berechnen.
