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wie funktioniert die p q formel

Hallo Gast!

Quadratische Gleichungen, die keinen Faktor vor dem x² haben, können mit Hilfe der p-q-Formel gelöst werden. Die allgemeine Form dieser quadratischen Gleichungen ist

$x^2 + px+q= 0$

Die p-q-Formel - Herleitung und Erklärung:

Der Trick bei der p-q-Formel besteht darin, unsere quadratische Gleichung zuerst in die Form einer binomischen Formel zu bringen. Die Herleitung sieht so aus:

$x^2+px+q=0\\ x^2+px+q+(\frac{p}{2})^2-(\frac{p}{2})^2=0\\ x^2+px+(\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q\\ (x+\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q\\ x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\\ \color{blue}x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\\$

Das ist die p-q-Formel.

Du musst nun in deiner quadratischen Gleichung dem Multiplikanten p und der Konstanten q ihre Werte zuordnen.

Beispiel:

$x^2+{\color{red}p}x+{\color{green}q}=0$

$x^2+{\color {red}\ 2}x\ {\color{green}-3}=0\\ \color{red}p=2\\ \color{green}q=-3$

Eingesetzt in die p-q-Formel ergibt das

$x=-\frac{\color{red}p}{2}\pm \sqrt{(\frac{\color{red}p}{2})^2-{\color{green}q}}\\ x=-\frac{\color{red}2}{2}\pm \sqrt{(\frac{\color{red}2}{2})^2-{\color{green}(-3)}}\\ x=-1\pm\sqrt{1+3}\\ x=-1\pm2$

Die Gleichung hat zwei Lösungen

$x_1=1\\ x_2=-3$

Quadratische Gleichungen mit einem Faktor vor dem quadratischen Glied x²

haben die allgemeine Form

$ax^2+bx+c=0$

Man braucht für ihre Lösung die Formel

$\large x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$

Wenn du jedes Glied einer solchen Gleichung $ax^2+bx+c=0$  durch a dividierst, kannst du auch hier mit der p-q-Formel arbeiten.

$\frac{ax^2+bx+c}{a}=\frac{0}{a}\\ p=\frac{b}{a},\ q=\frac{c}{a}\\ \color{blue}\frac{ax^2+bx+c}{a}=x^2+px+q=0$

Grüße von

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