+14921 wie funktioniert die p q formel
Hallo Gast!
Quadratische Gleichungen, die keinen Faktor vor dem x² haben, können mit Hilfe der p-q-Formel gelöst werden. Die allgemeine Form dieser quadratischen Gleichungen ist
\(x^2 + px+q= 0\)
Die p-q-Formel - Herleitung und Erklärung:
Der Trick bei der p-q-Formel besteht darin, unsere quadratische Gleichung zuerst in die Form einer binomischen Formel zu bringen. Die Herleitung sieht so aus:
\(x^2+px+q=0\\ x^2+px+q+(\frac{p}{2})^2-(\frac{p}{2})^2=0\\ x^2+px+(\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q\\ (x+\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q\\ x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\\ \color{blue}x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\\\)
Das ist die p-q-Formel.
Du musst nun in deiner quadratischen Gleichung dem Multiplikanten p und der Konstanten q ihre Werte zuordnen.
Beispiel:
\(x^2+{\color{red}p}x+{\color{green}q}=0\)
\(x^2+{\color {red}\ 2}x\ {\color{green}-3}=0\\ \color{red}p=2\\ \color{green}q=-3\)
Eingesetzt in die p-q-Formel ergibt das
\(x=-\frac{\color{red}p}{2}\pm \sqrt{(\frac{\color{red}p}{2})^2-{\color{green}q}}\\ x=-\frac{\color{red}2}{2}\pm \sqrt{(\frac{\color{red}2}{2})^2-{\color{green}(-3)}}\\ x=-1\pm\sqrt{1+3}\\ x=-1\pm2\)
Die Gleichung hat zwei Lösungen
\(x_1=1\\ x_2=-3 \)
Quadratische Gleichungen mit einem Faktor vor dem quadratischen Glied x²
haben die allgemeine Form
\(ax^2+bx+c=0 \)
Man braucht für ihre Lösung die Formel
\(\large x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
Wenn du jedes Glied einer solchen Gleichung \(ax^2+bx+c=0\) durch a dividierst, kannst du auch hier mit der p-q-Formel arbeiten.
\(\frac{ax^2+bx+c}{a}=\frac{0}{a}\\ p=\frac{b}{a},\ q=\frac{c}{a}\\ \color{blue}\frac{ax^2+bx+c}{a}=x^2+px+q=0 \)
Grüße von
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