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Funktion mit f(x)= sin(x) 

,,In der Fläche zwischen K und der x Achse ist ein Rechteck mit dem Eckpunkt P( u | f(u) ) einbeschrieben. berechnen Sie den maximalen Umfang des Rechtecks." 
 

Ich weiss nicht was ich falsch mache aber irgendwie ist an meiner Rechnung definitiv was falsch.. könnte mir jemand die richtige Lösung geben? 
Mein Rechenweg war so:

 

1) Zielfunktion aufstellen

A(u)= 2u + 2 (sin(u) )

= 2 sin (u) +2u

 

2) Erste Ableitung gleich 0 setzen

A'(u)= 2cos (u) +2= 0 

bei mir kam dann für u= 0 und für u2= pi raus

 

3) 2 Ableitung, HP oder TP?

A''(u)= -2sin( pi) 
= 0

naja, dass ist denke ich nicht der maximale Umfang.. :-D ab hier weiss ich absolut nicht mehr weiter.. was macht man denn, wenn bspw. 0 rauskommt? 
danke :)

 27.04.2021
 #1
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Sorry, habe vergessen das zu erwähnen: 0 < x < pi für f(x)= sin (x)

 27.04.2021
 #2
avatar+11418 
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In der Fläche zwischen K und der x Achse ist ein Rechteck...

 

Hallo Gast,

was bedeutet das K in der Beschreibung der Aufgabe. Ich würde gern diese Rechnung ausprobieren.

Gruß

laugh  !

 28.04.2021
 #3
avatar+2042 
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Ich nehm mal an, du meinst wieder das Rechteck mit dem gegebenen Eckpunkt auf dem Graphen und Achsen-Teilen als Seiten. Dann kann ich dazu folgendes sagen:

 

Da passt eigentlich vieles.

Erstmal ist aber u=0 keine Lösung in (2), denn 2cos(0)+2 = 2+2=4 und nicht 0. (Das macht aber nichts eigentlich)

Dass du Pi als Lösung rausbekommst, macht auch Sinn. Ich hab' dir mal deine Zielfunktion plotten lassen:

 

 

Du siehst: sie ist streng monoton steigend überall, mit einem Terassenpunkt bei Pi. Du findest die Art des Extremums hier nicht mit der zweiten Ableitung heraus, weil sie den Wert 0 ergibt. (Auch das macht Sinn, denn ein Terassenpunkt ist immer auch ein Wendepunkt.) (Übrigens ist das, was bei Schritt 3 herauskommt, nie der Maximalwert deiner Zielfunktion. Wir nutzen diesen Wert nur, um die Art des Extremums zu bestimmen!)

Ich hatte ja bei meiner ersten Antwort zu deinen Fragen schon die Vorzeichentabelle als Methode erwähnt - diese kannst du auch hier nutzen, um zu zeigen, dass es sich um einen Terassenpunkt handelt.

Nachdem's keine Extrema in deinem Intervall gibt, muss einer der Randwerte die Lösung sein. Und weil mit u=0 auch Umfang 0 rauskommt, wird's wohl Pi sein, und unser Rechteck mit maximalem Umfang ist nur ein "Strich" auf der x-Achse. Die Diskussion, ob man das jetzt als Rechteck interpretieren möchte oder nicht, hatten wir ja schonmal ;)

 

Du siehst: eigentlich passt alles, du hättest nur bis zum Ende durchziehen müssen, was du letztes mal gemacht hast.

 

Wenn mit K der Graph der Funktion f gemeint ist, läuft alles deutlich anders und würde wahrscheinlich auch ein sinnvolleres Ergebnis liefern. Ist das hier der Fall?

 28.04.2021
 #4
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Wow!!! Danke, danke, danke!! 
genau, in der Aufgabenstellung steht: 

,,Zwei Seiten eines Rechtecks liegen auf den Koordinatenachsen. Ein Eckpunkt P( a | f(u)) des Rechtecks liegt auf dem Schaubild K von f mit f(x)= 1+ cos(x), xER (0; 1,6). Berechnen Sie a so, dass der Umfang des Rechtecks maximal ist." 
 

Stimmt meine Rechnung dann noch? :-)

 28.04.2021
 #5
avatar+2042 
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Die Rechnung dann leider nicht, aber dein Vorgehen ist genau richtig. Du hast aber ja f(x)=sin(x) benutzt.

 

Deine Zielfunktion ist dann halt 

U(u) = 2u + 2(cos(u)+1) = 2cos(u) +2u+2

(Wieder der Umfang des Rechtecks)

 

Und mit der machst du dann genau das, was du oben schon für f(x)=sin(x) gemacht hast.

(Kleiner Spoiler: Du müsstest Pi/2 als Optimalwert für u herausfinden. Mit der richtigen Startfunktion hier klappt's dann auch besser, dann hast du nicht so "Randerscheinungen" wie den Strich als Rechteck als Endergebnis.)

Probolobo  28.04.2021

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