Hallo :) tut mir leid dass ich eben keine Beispielaufgabe vorgegeben habe.
f(x) = -1/4(x + 1/2)² - 1/3
Wenn mir jemand dazu auch eine verständliche Erklärung liefern könnte, stünde ich demjenigen zutiefst in größter Schuld, denn ich verzweiele momentan an meinen Mathematik Hausaufgaben
Vielen Dank
Niclas
f(x)= -1/4(x+1/2)²-1/3
f(x)= -1/4(x²+x+1/4)-1/3
f(x)= -1/4x²-1/4x-1/16-1/3
f(x)= -1/4x²-1/4x-19/48
Diese Funktion hat keine Nullstellen. Deshalb kann man sie nicht in üblicher Weise in Polynomform schreiben.
f(x) = (x+4) (x-2) hat die Nullstellen x1=-4 und x2=2
Deine Funktion ginge eventuell nur so:
f(x)= -1/4(x+1/2)(x+1/2)-1/3
Die bereits berechnete Funktion in Antwort 1 ist die Normalform. Die Ausgangsfunktion ist die Scheitelform.
+26387
Gegeben ist die Scheitelpunktform der Parabel $$y=a(x-x_s)^2+y_s$$.
Der Scheitelpunkt $$S(x_s,y_s)$$ hat die Werte $$x_s=-\frac{1}{2} \ und \ y_s =-\frac{1}{3}$$
$$a$$ hat den Wert $$a=-\frac{1}{4}$$
Gesucht ist die Polynomform $$(x-x_1)(x-x_2)$$
Wir suchen die Nullstellen $$x_1 \ und \ x_2$$
Berechnung der Nullstellen:
Wir setzen in die Scheitelpunktform $$y=0$$ ein und lösen dann nach x auf.
$$a(x-x_s)^2+y_s = y \quad | \quad y=0 \\\\
a(x-x_s)^2+y_s = 0\quad | \quad -y_s \\\\
a(x-x_s)^2 = -y_s \quad | \quad :a \\\\
(x-x_s)^2 = -\frac{y_s}{a} \quad | \quad \pm\sqrt{} \\\\
x_{1,2}-x_s =\pm
\sqrt{
-\frac{y_s}{a}
} \quad | \quad + x_s \\\\
x_{1,2} =x_s\pm\sqrt{ -\frac{y_s}{a} } \\\\
\boxed{x_1 =x_s+\sqrt{ -\frac{y_s}{a} } }
\boxed{x_2 =x_s-\sqrt{ -\frac{y_s}{a} } }$$
Nun können wir die Polynomform bestimmen und setzen dazu $$x_1 \ und \ x_2$$ mit den gegebenen Werten:
$$\left[
x-x_1\right] \left[
x-x_2\right] =
\left[
x- \left(x_s+\sqrt{ -\frac{y_s}{a} } \ \right)
\right]
\left[
x- \left(x_s-\sqrt{ -\frac{y_s}{a} } \ \right)
\right]\\\\$$
$$\left[
x- \left( -\frac{1}{2} +\sqrt{ -\frac{ -\frac{1}{3} }{ -\frac{1}{4} } } \ \right)
\right]
\left[
x- \left( -\frac{1}{2} -\sqrt{ -\frac{ -\frac{1}{3} }{ -\frac{1}{4} } } \ \right)
\right] \\\\
= \left[
x- \left( -\frac{1}{2} +\sqrt{ -\frac{ 4 }{ 3 } } \ \right)
\right]
\left[
x- \left( -\frac{1}{2} -\sqrt{ -\frac{ 4 }{ 3 } } \ \right)
\right] \\\\
= \left[
x+\frac{1}{2} -\sqrt{ -\frac{ 4 }{ 3 } } \right]
\left[
x+\frac{1}{2} +\sqrt{ -\frac{ 4 }{ 3 } } \ \right] \\\\$$
Die Polynomform lautet: $$\boxed{\left[
x+\frac{1}{2} -\sqrt{ -\frac{ 4 }{ 3 } } \right]
\left[
x+\frac{1}{2} +\sqrt{ -\frac{ 4 }{ 3 } } \ \right] }$$
!
