a)
Zeigen Sie, dass \(\lim_{n\rightarrow ∞} (1- \frac{1}{n})^n =\frac{1}{e}\)
gilt.
b)
Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie (unter Angabe des Lösungsweges) gegebenenfalls den Grenzwert.
i) \(a_n=(1+\frac{1}{n})^{2n}\)
ii) \(b_n=(1+\frac{1}{n})^{n^2}\)
iii) \(c_n=(1+\frac{(n+1)!}{n!})^{n} \frac{1}{(n+2)^n}\)
Könnte mir jemand diese Aufgaben lösen, ich weiß das man durch abschreiben nichts lernt aber ich brauche dringend die Punkte um die Klausurzulassung zu bekommen. Ich werde trotzdem versuchen die Lösung zu verstehen. Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen würde.
+3976 Für die a) muss ich noch ein bisschen überlegen, evtl kommt da später was dazu.
Für die b) geht aber ein bisschen was: Ist euch bekannt, dass der Grenzwert der Folge def. durch \(d_n=(1+\frac{1}{n})^n\) genau e ist? Dann würd' ich folgendes vorschlagen:
Mit ganz klassischen Potenzgesetzen siehst du, dass \(a_n=( (1+\frac{1}{n})^n)^2 \ \ \& \ \ b_n = ((1+\frac{1}{n})^n)^n\). Der Innere Teil konvergiert nun jeweils gegen e, daher ist der Grenzwert der ersten Folge e2 und der Grenzwert der zweiten Folge der gleiche wie bei en, und dass der unendlich ist ist (hoffentlich?) klar.
Die letzte davon schaffst du bestimmt selbst, wenn du dir kurz überlegst, was du an dem Term \(\frac{(n+1)!}{n!}\) vereinfachen kannst. Wenn du nicht draufkommst frag' gern nochmal ;)
