+3976 Wir sollen \(z^3+27=0 \Leftrightarrow z^3=-27\) in \(\mathbb{C}\) lösen. Die Gleichung hat 3 Lösungen. Die Darstellung in Polarkoordinaten von -27 ist \(27 \cdot e^{i\pi}\). Unsere Lösungen erhalten wir mit k=0, 1, 2 so: \(z_k = 27^{\frac{1}{3}} \cdot e^{i\cdot \frac{\pi+k\cdot 2\pi}{3}} = 3\cdot e^{i\cdot \frac{\pi+k\cdot 2\pi}{3}}\). Die Lösungsmenge der Gleichung ist daher \(\mathbb{L}=\{ 3\cdot e^{i\cdot \frac{\pi}{3}} ; 3\cdot e^{i\cdot \pi}; 3\cdot e^{i\cdot \frac{5\pi}{3}} \}\).
Falls du die Lösungen in kartesischen Koordinaten statt Polarkoordinaten brauchst, kannst du sie wie gewohnt umrechnen. Bei solchen Gleichungen sind Polarkoordinaten aber eigentlich gängig, zumindest um die Lösungen zu finden, weil's so halt am leichtesten ist. Wenn was unklar ist frag' gern nochmal nach.
