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Welchen einmaligen Betrag muss ein Lotteriegewinner in ein Sparkonto mit einem Zinssatz von 3,9 % p.a. einzahlen, um anschließend 25 Jahre lang jeweils am Jahresende 48000€ davon abheben zu können?

 

Wieviel € sollte die Anlagesumme betragen?(auf den Cent genau)

Guest 08.04.2017

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  #5
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What amount does a lottery winner have to pay into a savings account with an interest rate of 3.9% pa and then be able to withdraw 48,000 € for 25 years at the end of the year?

 

How much € should the amount be? (To the cent exactly)

 

withdraw 48000 at the end of every year of 25 years. Interest = 0.039

 

 

\(PV=48000*\frac{1-1.039^{-25}}{0.039}\)

 

48000*((1-1.039^-25)/0.039) = 757 848.95

 

sensible check:  25*48000 = 1 200 000  answer sounds ok.

 

So that is       757 848.95 euros

Melody 11.04.2017
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  #1
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Die Endsumme nach der Verzinsung muss wohl 25*48.000,- € betragen, also 1.200.000,- €

 

Wenn man davon ausgeht, dass nach dem Ende der 25 Jahre der jeweilige Restbetrag nicht mehr verzinst wird, könnte man folgende Formel verwenden:

 

\(Endkapital=Kapital*(1+\frac{Prozent}{100})^{Jahre}\)

 

Ich kürze das mal ab:

 

\(E=K*(1+\frac{p}{100})^J\)

 

Einen Teil der Formel wissen wir ja schon, wir können also einsetzen:

 

E = 1.200.000,- €

K = ?

p = 3,9 %

J = 25

 

Daraus ergibt sich folgende Formel:

 

\(1.200.000=K*(1+\frac{3,9}{100})^{25}\)

 

\((1+\frac{3,9}{100})^{25}\) können wir problemlos ausrechnen:

 

\((1+\frac{3,9}{100})^{25}=2.6024877199252292\)

 

Daraus folgt: \(1.200.000=K*2.6024877199252292\)

 

Jetzt teilen wir also durch 2.6024877199252292 und erhalten:

 

\(\frac{1.200.000}{2.6024877199252292}=K\)

 

Also ist das Ergebnis: K = 461.097,28 €. Der genaue Wert ist 461097, 2765836822516295997, aber man sollte ja auf Cent Runden.

 

Antwortsatz: Der Gewinn muss genau 461.097, 28 € betragen, damit beim angegebenen Zinssatz nach 25 Jahren ein Kapital von 1.200.000,- € vorhanden ist.

Trotzdem 08.04.2017
  #2
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Nach genauerem Durchlesen der Frage erscheint mir das Problem komplexer :D

 

Vergiss, was ich geschrieben habe.

 

Ich hab drüber nachgedacht:

 

Man könnte die Abnahme des Kapitals als Gerade darstellen, weil ja jedes Jahr 48.000,- € entnommen werden.

 

Die Zunahme des Kapitals ist eine Exponentialfunktion. Das auch von mir bisher gedanklich nicht geknackte Problem ist, dass der zu verzinsende Betrag ja jedes Jahr geringer wird.

 

Meine neueste Idee ist, dass man das vielleicht als Folgen/ Reihen-Problem lösen kann.

 

Zahlenreihen funktionieren ja, wenn ich mich da recht erinnere, nach dem Prinzip: \(n_{x+1}=n_x+y\)

Also zum Beispiel 1, 3, 5, 7 ... wäre \(n_{x+1}=n_x+2\)

 

Das entspräche, bezogen auf die Kapitalentnahme hier: \(n_{x+1}=n_x-48.000\)\(n_1=1.200.000\), wobei  gilt.

 

Die Zunahme ist eine geometrische Zahlenfolge, da gilt, wenn ich mich recht erinnere, \(a_{n+1}=a_n*q\)

 

In diesem Fall also \(a_{n+1}=a_n*1.039\), wobei wir wissen, dass n am Ende 25 sein wird, a kennen wir hingegen nicht.

 

Das, was nun passiert, ist technisch gesehen ja: 1: Kapital - 48.000, 2: Kapital*1,039, 3: Kapital - 48.000, 4: Kapital*1,039 ...

 

Also muss man die Reihe und die Folge irgendwie zusammenbringen. Da mach ich mir morgen mal Gedanken drüber, wenn keiner vorher die Lösung postet.

 

Notfalls könnte man ja das Problem lösen, indem man alle Schritte manuell rückwärts ausführt, also erst 48.000 addiert, dann durch den Kehrwert von 1,039 teilt, dann wieder 48.000 hinzuzählt, und so weiter.

Aber wer schon so weit zu Fuß gehen :D

Trotzdem 08.04.2017
bearbeitet von Trotzdem  08.04.2017
bearbeitet von Trotzdem  08.04.2017
  #3
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Danke dir, ich bin mir da nämlich auch nicht genau sicher. Der obere Lösungsansatz erscheint mir zu einfach :D

Gast 09.04.2017
  #4
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bist du mit der Aufgabe weiter gekommen? ein Freund von mir kommt da auch überhaupt nicht weiter, ich sowieso nicht :D scheint wohl komplexer zu sein

Gast 09.04.2017
  #5
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What amount does a lottery winner have to pay into a savings account with an interest rate of 3.9% pa and then be able to withdraw 48,000 € for 25 years at the end of the year?

 

How much € should the amount be? (To the cent exactly)

 

withdraw 48000 at the end of every year of 25 years. Interest = 0.039

 

 

\(PV=48000*\frac{1-1.039^{-25}}{0.039}\)

 

48000*((1-1.039^-25)/0.039) = 757 848.95

 

sensible check:  25*48000 = 1 200 000  answer sounds ok.

 

So that is       757 848.95 euros

Melody 11.04.2017
  #6
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Welchen einmaligen Betrag muss ein Lotteriegewinner in ein Sparkonto mit einem Zinssatz von 3,9 % p.a. einzahlen, um anschließend 25 Jahre lang jeweils am Jahresende 48000€ davon abheben zu können?

Wieviel € sollte die Anlagesumme betragen?(auf den Cent genau)

 

What amount does a lottery winner have to pay into a savings account with an interest rate of 3.9% pa and then be able to withdraw 48,000 € for 25 years at the end of the year?

How much € should the amount be? (To the cent exactly)

 

Sei C = 48000 €

Sei der Zinssatz = i = 3.9 %

Sei die Anzahl der Jahre = n

Sei das Anfangskapital = K

 

Das Kapital nach dem 1. Jahr beträgt:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline K \cdot(1+i) - C \\ \hline \end{array}\)

 

Das Kapital nach dem 2. Jahr beträgt:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && [K \cdot(1+i) - C]\cdot (1+i) -C \\ &=& K \cdot(1+i)^2 - C\cdot (1+i) -C \\ &=& K \cdot(1+i)^2 - C\cdot [1+(1+i)] \\ \hline \end{array}\)

 

Das Kapital nach dem 3. Jahr beträgt:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \Big( K \cdot(1+i)^2 - C\cdot [1+(1+i)]\Big) \cdot (1+i) -C \\ &=& K \cdot(1+i)^3 - C\cdot [1+(1+i)+(1+i)^2] \\ \hline \end{array} \)

 

Das Kapital nach dem n. Jahr beträgt:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline &=& K \cdot(1+i)^n - C\cdot [ \underbrace{ 1+(1+i)+(1+i)^2+\ldots + (1+i)^{n-1} }_{=\frac{(1+i)^n-1}{i} } ] \\ &=& K \cdot(1+i)^n - C\cdot \Big(\frac{(1+i)^n-1}{i} \Big) \\ \hline \end{array} \)

 

Das Kapital beträgt am Ende 0 €:

\(\small{ \begin{array}{|rcll|} \hline 0\ €&=& K \cdot(1+i)^n - C\cdot \Big(\frac{(1+i)^n-1}{i} \Big) \\ K \cdot(1+i)^n &=& C\cdot \Big(\frac{(1+i)^n-1}{i} \Big) \\ K &=& C\cdot \Big(\frac{(1+i)^n-1}{i\cdot (1+i)^n} \Big) \\ K &=& C\cdot \Big( \frac{\frac{(1+i)^n}{(1+i)^n} -\frac{1}{(1+i)^n} }{i} \Big) \\ K &=& C\cdot \Big( \dfrac{1 - (1+i)^{-n} }{i} \Big) \qquad \text{This is exact the Formula from Melody - Dies ist genau die Formel von Melody } \\ \hline \end{array} } \)

 

Wir setzen ein:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline K &=& C\cdot \Big( \dfrac{1 - (1+i)^{-n} }{i} \Big) \quad & | \quad i = 3.9 \% \quad n=25\ \text{Jahre} \quad C=48000\ € \\ &=& 48000\cdot \Big( \dfrac{1 - (1+3.9 \%)^{-25} }{3.9 \%} \Big) \\ &=& 48000\cdot \Big( \dfrac{1 - 1.039^{-25} }{0.039} \Big) \\ &=& 48000\cdot \Big( \dfrac{1 - 0.38424773049 }{0.039} \Big) \\ &=& 48000\cdot \Big( \dfrac{0.61575226951 }{0.039} \Big) \\ &=& 48000\cdot 15.7885197311 \\ &=& 757848.947094\ € \\ \hline \end{array} \)

 

Der Lotteriegewinner muss 757 848.95 € in ein Sparkonto einzahlen.

The lottery winner have to pay into a savings account about 757 848.95 €

 

laugh

heureka 12.04.2017

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