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Hi, ich habe eine Frage: Bestimmen Sie ein ganzzahliges Intervall [x;x+1], in welchem das Gefälle von f den Wert -0,25 annimmt. f(x)= 6xe^(-0,25x)

 

Wie geht man an diese Augabe heran/ kann man diese beantworten? Wenn ja, wie?

Vielen Dank!

Guest 29.03.2017
 #1
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"Gefälle" bedeutet ja, dass es um die Steigung der Funktion geht, die Ableitung ist also schonmal nützlich. Zunächst überlege ich mir also, wo die Ableitung den Wert -0,25 annimmt:

\(f(x) = 6x\cdot e^{-0,25x} \\ \Rightarrow f'(x) = 6 \cdot e^{-0,25x} + 6x \cdot e^{-0,25x} \cdot (-0,25) \\ =(6-1,5x)e^{-0,25x} \\ \\ (6-1,5x)e^{-0,25x} \stackrel{!}{=} -0,25\)

 

Diese Gleichung hat zwar eine Lösung, die zu bestimmen ist mit Abi-Mitteln aber meines Wissens nach nicht lösbar. 

Was man aber sieht ist, dass die Ableitung f' bei x=4 eine Nullstelle hat. Einsetzen liefert f'(5) =~ -0,43.

Da die Funktion keine Definitionslücke hat, muss die Ableitung zwischen x=4 und x=5 alle Werte zwischen 0 und -0,43 annehmen, insbesondere auch -0,25.

Das Gesuchte Intervall ist also I = [4;5].

 

Ich hoffe, das war nachvollziehbar.

Probolobo  30.03.2017
 #4
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Wow vielen lieben Dank! Das ist pefekt! smiley @Omi67 @Probolobo @heureka

Gast 30.03.2017
 #2
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Um die Steigung an einer Stelle x zu erhalten, benötigt man die erste Ableitung. Diese muss man gleich Null setzen.

In diesem Fall soll die erste Ableitung -0,25 sein (Gefälle) und es muss die Stelle x ermittelt werden. 

Das ergibt eine schwierig zu lösende Gleichung: (6-1,5x)*e(-0,25x) = -0,25. Deshalb habe ich mir folgendes überlegt:

laugh

Omi67  30.03.2017
 #3
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Hi, ich habe eine Frage: Bestimmen Sie ein ganzzahliges Intervall [x;x+1], in welchem das Gefälle von f den Wert -0,25 annimmt. f(x)= 6xe^(-0,25x)

 

 

Es gibt zwei Intervalle:

 

1. Intervall [4; 5] mit x = 4,515344

2. Intervall [17; 18] mit x = 17,610364

 

Man kann diese beiden Werte für x mit Hilfe der Lambert'schen W Funktion (W) finden.

\(x = \dfrac{1-W(-\frac{e}{24} )} {0,25}\)

 

Der Link: http://www.had2know.com/academics/lambert-w-function-calculator.html

 

Die Berechnung:

 

 

laugh

heureka  30.03.2017

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