Hi, ich habe eine Frage: Bestimmen Sie ein ganzzahliges Intervall [x;x+1], in welchem das Gefälle von f den Wert -0,25 annimmt. f(x)= 6xe^(-0,25x)
Wie geht man an diese Augabe heran/ kann man diese beantworten? Wenn ja, wie?
Vielen Dank!
"Gefälle" bedeutet ja, dass es um die Steigung der Funktion geht, die Ableitung ist also schonmal nützlich. Zunächst überlege ich mir also, wo die Ableitung den Wert -0,25 annimmt:
\(f(x) = 6x\cdot e^{-0,25x} \\ \Rightarrow f'(x) = 6 \cdot e^{-0,25x} + 6x \cdot e^{-0,25x} \cdot (-0,25) \\ =(6-1,5x)e^{-0,25x} \\ \\ (6-1,5x)e^{-0,25x} \stackrel{!}{=} -0,25\)
Diese Gleichung hat zwar eine Lösung, die zu bestimmen ist mit Abi-Mitteln aber meines Wissens nach nicht lösbar.
Was man aber sieht ist, dass die Ableitung f' bei x=4 eine Nullstelle hat. Einsetzen liefert f'(5) =~ -0,43.
Da die Funktion keine Definitionslücke hat, muss die Ableitung zwischen x=4 und x=5 alle Werte zwischen 0 und -0,43 annehmen, insbesondere auch -0,25.
Das Gesuchte Intervall ist also I = [4;5].
Ich hoffe, das war nachvollziehbar.
Um die Steigung an einer Stelle x zu erhalten, benötigt man die erste Ableitung. Diese muss man gleich Null setzen.
In diesem Fall soll die erste Ableitung -0,25 sein (Gefälle) und es muss die Stelle x ermittelt werden.
Das ergibt eine schwierig zu lösende Gleichung: (6-1,5x)*e(-0,25x) = -0,25. Deshalb habe ich mir folgendes überlegt:
Hi, ich habe eine Frage: Bestimmen Sie ein ganzzahliges Intervall [x;x+1], in welchem das Gefälle von f den Wert -0,25 annimmt. f(x)= 6xe^(-0,25x)
Es gibt zwei Intervalle:
1. Intervall [4; 5] mit x = 4,515344
2. Intervall [17; 18] mit x = 17,610364
Man kann diese beiden Werte für x mit Hilfe der Lambert'schen W Funktion (W) finden.
\(x = \dfrac{1-W(-\frac{e}{24} )} {0,25}\)
Der Link: http://www.had2know.com/academics/lambert-w-function-calculator.html
Die Berechnung: